Calcolo di limite
salve a tutti;
devo risolvere questo limite:
$ lim_(x -> 0)(cosroot(3)((x)) -root(3)((cosx)) )/x^(2/3 $
mi date qualche consiglio/trucco per risolverlo?
Grazie!
devo risolvere questo limite:
$ lim_(x -> 0)(cosroot(3)((x)) -root(3)((cosx)) )/x^(2/3 $
mi date qualche consiglio/trucco per risolverlo?
Grazie!
Risposte
Hai studiato lo sviluppo di Taylor? Se sì, hai provato ad usarlo?
Ciao cri98,
In realtà è abbastanza semplice...
Si ha:
$\lim_{x \to 0}(cos root[3]{x} - root[3]{cos x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[3]{cos x} - cos root[3]{x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[3]{cos x} - 1 + 1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$= - \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/x^{2/3} + (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(-sin^2 x) \cdot (- sin^2 x)/x^{2/3} + (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$ = \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(- sin^2 x) \cdot (sin^2 x)/x^2 \cdot x^{4/3} - \lim_{x \to 0} (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$ = 1/6 \cdot 1 \cdot 0 - 1/2 = - 1/2 $
In realtà è abbastanza semplice...
Si ha:
$\lim_{x \to 0}(cos root[3]{x} - root[3]{cos x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[3]{cos x} - cos root[3]{x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[3]{cos x} - 1 + 1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$= - \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/x^{2/3} + (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = - \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(-sin^2 x) \cdot (- sin^2 x)/x^{2/3} + (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$ = \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(- sin^2 x) \cdot (sin^2 x)/x^2 \cdot x^{4/3} - \lim_{x \to 0} (1 - cos root[3]{x})/x^{2/3} = $
$ = 1/6 \cdot 1 \cdot 0 - 1/2 = - 1/2 $
ciao pilloeffe,
Grazie per la risposta.
l'unica cosa che non mi è chiara:
$ = \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(- sin^2 x) = 1/6 $
utilizzi un limite notevole? quale? non riesco a vederlo
.
Grazie
ciao Mephilip, si lo sviluppo di Taylor l'ho studiato, ho provato a fare qualche passaggio:
mi serve lo sviluppo di:
$ cos(x) =1-x^2/2+x^4/24 +(o(x^4))$
$ root(3)((cosx) )=1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24+(o(x^4)) $
$ lim_(x -> 0) ((1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24)-(root(3) (1-x^2/2+x^4/24) ))/x^(2/3) =$
$ lim_(x -> 0) (1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24-1+x^(2/3)/2^(1/3)-x^(4/3)/24^(1/3))/x^(2/3) $
se da qui in poi va tutto bene, avrei bisogno di una mano nei calcoli
Grazie!
Grazie per la risposta.
l'unica cosa che non mi è chiara:
$ = \lim_{x \to 0}(root[6]{1 - sin^2x} - 1)/(- sin^2 x) = 1/6 $
utilizzi un limite notevole? quale? non riesco a vederlo
.Grazie
"Mephlip":
Hai studiato lo sviluppo di Taylor? Se sì, hai provato ad usarlo?
ciao Mephilip, si lo sviluppo di Taylor l'ho studiato, ho provato a fare qualche passaggio:
mi serve lo sviluppo di:
$ cos(x) =1-x^2/2+x^4/24 +(o(x^4))$
$ root(3)((cosx) )=1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24+(o(x^4)) $
$ lim_(x -> 0) ((1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24)-(root(3) (1-x^2/2+x^4/24) ))/x^(2/3) =$
$ lim_(x -> 0) (1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24-1+x^(2/3)/2^(1/3)-x^(4/3)/24^(1/3))/x^(2/3) $
se da qui in poi va tutto bene, avrei bisogno di una mano nei calcoli
Grazie!
"cri98":
Grazie per la risposta.
Prego.
"cri98":
l'unica cosa che non mi è chiara: [...] utilizzi un limite notevole? quale?
Sì, il seguente:
$\lim_{f(x) \to 0} \frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $
$\AA a \in \RR $
ok perfetto Grazie
"cri98":
$ root(3)((cosx) )=1-x^(2/3)/2+x^(4/3)/24+(o(x^4)) $
Questo è sbagliatissimo
non ha proprio senso algebricamente, sembra tu abbia elevato tutti gli addendi alla potenza $\frac{1}{3}$; avrebbe avuto senso se fosse stato $\cos ( root(3) x))$, ma non è questo il caso.Dopo aver sviluppato il coseno (quello è corretto), devi poi sviluppare $(1+\varepsilon)^a$, che se $\varepsilon \to 0$ per $x \to x_0$ ha uno sviluppo del tipo $1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+o(x^2)$ (ovviamente lo sviluppo prosegue se hai bisogno di termini successivi).
Nel nostro caso, $a=\frac{1}{3}$ ed $x_0=0$.
ciao Mephilip
Grazie per la risposta
ho fatto qualche ragionamento:
considero lo sviluppo del$ cos(x)= 1-x^2/2+x^4/24$
dallo sviluppo ottengo$ 1-1/3 x^2/2 =1-x^2/6+0(x^2)$
è corretto?
quindi bastava moltiplicare per 1/3 e non elevare ad 1/3?
Grazie!
Grazie per la risposta
ho fatto qualche ragionamento:
considero lo sviluppo del$ cos(x)= 1-x^2/2+x^4/24$
dallo sviluppo ottengo$ 1-1/3 x^2/2 =1-x^2/6+0(x^2)$
è corretto?
quindi bastava moltiplicare per 1/3 e non elevare ad 1/3?
Grazie!
Prego! Beh, se l'ordine che ti serve è il primo sì, basta moltiplicare per $\frac{1}{3}$.
Fai attenzione, elevare alla $\frac{1}{3}$ non si fa come hai fatto tu nel messaggio in cui sviluppi $root (3) \cos x$; è un errore abbastanza grave! Non si eleva ogni termine alla $\frac{1}{3}$, si lascia così (a meno di altre manipolazioni algebriche).
Fai attenzione, elevare alla $\frac{1}{3}$ non si fa come hai fatto tu nel messaggio in cui sviluppi $root (3) \cos x$; è un errore abbastanza grave! Non si eleva ogni termine alla $\frac{1}{3}$, si lascia così (a meno di altre manipolazioni algebriche).
Grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo