Calcolo di $lim_(x->-2) (ln(2x+5)+1-cos(2x+4))/(x^2+3x+2)

[ebrunaway]

Ho un po' di difficoltà con questo limite:

$lim_(x->-2) (ln(2x+5)+1-cos(2x+4))/(x^2+3x+2)$

In particolare non sono sicuro dell'impostazione e sul calcolo effettivo.
Condivido, con vergogna , il mio ragionamento: l'idea base è che, sfruttando il fatto che $1-cos(2theta) = 2sin^2theta$ si può riscrivere il limite come:

$lim_(x->-2) (ln(2x+5)+2*(sin^2(x+2)))/(x^2+3x+2)$

Da cui, posto $y=x+2$ risulta:

$lim_(x->-2) (ln(2x+5)+2*(sin^2y))/(x^2+3x+2)$
$lim_(x->-2) (ln(2x+5)+2*siny*siny)/(x^2+3x+2)$


$lim_(x->-2) ((ln(2x+5))/y^2+(2*sin^2y)/y^2)/((x^2+3x+2)/y^2)$

Il ragionamento mi porta a pensare quindi che siccome quando $lim_(x->-2)$ la quantità $y = x+2 -> 0$, allora posso supporre, per il calcolo in cui compare, la $y -> 0$; sfruttando il fatto che $siny/y=1$ per $y -> 0$ allora $(sin^2y)/y^2 = siny/y*siny/y = 1$ per cui:

$lim_(x->-2) ((ln(2x+5))/y^2+2)/((x^2+3x+2)/y^2)$

$lim_(x->-2) ((ln(2x+5))/(x+2)^2+2)/((x^2+3x+2)/(x+2)^2)$

$lim_(x->-2) ((ln(2x+5))/(x+2)^2+2)/(((x+2)(x+1))/(x+2)^2)$

$lim_(x->-2) ((ln(2x+5))/(x+2)^2+2)/((x+1)/(x+2))$

Diciamo che sono punto a capo, ma al momento sono a corto di idee da sviluppare, se avete qualche consiglio su come impostarlo è ben accetto! Probabilmente quello che ho scritto non è il modo corretto con cui affrontarlo, ma a rileggere a freddo quello che ho scritto mi sorge spontanea una domanda: ho creato un abominio? (mi riferisco al tentativo di eliminare la parte trigonometrica del testo, pur non essendo di grande aiuto alla soluzione dell'esercizio)

[Angelo D.1]

Quando fai la sostituzione, devi riscrivere il limite, avendo effettuato tutto in funzione di [tex]$y$[/tex] e non più in [tex]$x$[/tex] e questo si fa subito, perciò queste non devono più comparire nel limite.

Pertanto [tex]$x+2=y$[/tex] , quindi per [tex]$x \to -2 \Rightarrow y \to 0$[/tex] ora cerca di riscrivere meglio il limite..

[ebrunaway]

Per riscriverlo devo anche sfruttare il fatto che siccome $y = x+2$ allora $x = y-2$? nel caso sarebbe:

$lim_(y -> 0) (((ln(2x+5))/y^2)+2)/(((x+1)(x+2))/y^2)$

Sostituendo:

$lim_(y -> 0) ((ln(2(y-2)+5))/y^2+2)/(((y-2+1)(y-2+2))/y^2)$

$lim_(y -> 0) ((ln(2y+1))/y^2+2)/((y-1)/y)$

Ma al numeratore $(ln(2y+1))/y^2 -> -oo$, al denominatore $(y-1)/y = 1-1/y -> +oo$ per $y->0$, quindi rimane la forma indeterminata $[oo/oo]$, dove sbaglio?

[Angelo D.1]

"ebrunaway":Per riscriverlo devo anche sfruttare il fatto che siccome $y = x+2$ allora $x = y-2$?

Certo che si! ripartendo da qui: [tex]$\lim_{x \to -2}\frac{\ln(2x+5) + 2\sin^2(x+2)}{x^2+3x+2}$[/tex] dopo la sotituzione si dovrebbe ottenere:

[tex]$\lim_{y \to 0}\frac{\ln(2y+1) + 2\sin^2y}{y(y-1)}$[/tex] ora sfruttando gli asintotici(o limiti notevoli), dovresti riuscire a risolverlo

[ebrunaway]

Ho provato a separarlo e a calcolare i limiti dei due addendi:

$lim_(y->0)(ln(2y+1))/(y(y-1))+(2sin^2y)/(y(y-1))$

moltiplicando per $2/2$:

$lim_(y->0)2/(y-1)ln(2y+1)/(2y)+(2sin^2y)/(y(y-1))$

$ln(2y+1)/(2y)$ è riconducibile al limite notevole $ln(x+1)/x = 1$, per cui il primo addendo tende a $-2$, il secondo per sostituzione, tende a 0, quindi il limite sarebbe -2?

[Angelo D.1]

Esatto! essendo [tex]$\sin^2y \approx y^2$[/tex], semplificando e sostituendo, il secondo addendo tende proprio a zero, quindi il risultato finale è più che corretto!

[ebrunaway]

Ti ringrazio per l'aiuto!

[iamagicd]

ma usare i Polinomi di Taylor con centro -2 è fuori discussione? ...

[redlex91-votailprof]

"Ma.Gi.Ca. D":ma usare i Polinomi di Taylor con centro -2 è fuori discussione? ...

Perché scomodare Taylor?

[tex]\lim_{t\to0}\frac{\log(1+2t)+1-\cos{2t}}{t(t-1)}[/tex]
Osserviamo che per [tex]t\to0,t-1\to-1[/tex] (il fattore non è responsabile dell'indeterminazione), inoltre [tex]1-\cos{2t}[/tex] è infinitesimo per [tex]t\to0[/tex] di ordine superiore a [tex]\log(1+2t)[/tex] e quindi per il principio di eliminazione degli infinitesimi risulta trascurabile. Infine [tex]\log(1+2t)\sim2t,t\to0[/tex]. Ora per il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti e tenendo conto delle osservazioni precedenti:
[tex]=-\lim_{t\to0}\frac{2t}{t}=-2[/tex]