Calcolo di integrali superficiali
Salve a tutti , non riesco a risolvere un integrale superficiale, qualcuno può aiutarmi ? 
Allora l'esercizio è il seguente:
$ int_(S) z(y-2x) $ $ d sigma $
Dove S è la calotta della suoerficie sferica : $ x^2+y^2+z^2=16 $ con $ z>=0 $ che si proietta ortogonalmente nel dominio :
D= $ {(x,y): x^2+y^2<=4 , x>=0,y>=0 } $ .
Svolgimento:
ho imposto il passaggio a coordinate sferiche $ (rho , theta , phi) $ dove $ rho $ vale costantemente 4. Il mio problema è che non capisco dove varia $ phi $ e $ theta $
Allora l'esercizio è il seguente:
$ int_(S) z(y-2x) $ $ d sigma $
Dove S è la calotta della suoerficie sferica : $ x^2+y^2+z^2=16 $ con $ z>=0 $ che si proietta ortogonalmente nel dominio :
D= $ {(x,y): x^2+y^2<=4 , x>=0,y>=0 } $ .
Svolgimento:
ho imposto il passaggio a coordinate sferiche $ (rho , theta , phi) $ dove $ rho $ vale costantemente 4. Il mio problema è che non capisco dove varia $ phi $ e $ theta $
Risposte
Ciao io ho lo stesso problema....ho affrontato il problema in questo modo: ho considerato la parametrizzazione dell'ellisse $ x=acos theta sen phi $ $ y=bsen theta sen phi $ dove a=2 e b=1...poi ho sostituito nell'equazione dell'ellisse $ x^2+4y^2<=4 $ e mi trovo $ sen phi <=1 $ quindi $ 0<= phi <= pi/2$...non so se però vada bene....poi dovremmo trovarci $theta$ che ancora non ho capito come trovare....
$\{(x=4cos\phisen\theta),(y=4sen\phisen\theta),(z=4cos\theta):}$ con $0<=\phi<=\pi/2$ e $0<=\theta<=\pi/6$
oppure:
$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosen\phi),(z=sqrt(16-\rho^2)):}$ con $0<=\rho<=2$ e $0<=\phi<=\pi/2$
oppure:
$\{(x=u),(y=v),(z=sqrt(16-u^2-v^2)):}$ con $0<=u<=2$ e $0<=v<=sqrt(4-u^2)$
oppure:
$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosen\phi),(z=sqrt(16-\rho^2)):}$ con $0<=\rho<=2$ e $0<=\phi<=\pi/2$
oppure:
$\{(x=u),(y=v),(z=sqrt(16-u^2-v^2)):}$ con $0<=u<=2$ e $0<=v<=sqrt(4-u^2)$
"speculor":
$\{(x=4cos\phisen\theta),(y=4sen\phisen\theta),(z=4cos\theta):}$ con $0<=\phi<=\pi/2$ e $0<=\theta<=\pi/6$
oppure:
$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosen\phi),(z=sqrt(16-\rho^2)):}$ con $0<=\rho<=2$ e $0<=\phi<=\pi/2$
oppure:
$\{(x=u),(y=v),(z=sqrt(16-u^2-v^2)):}$ con $0<=u<=2$ e $0<=v<=sqrt(4-u^2)$
quindi può andar bene la mia dimostrazione per quanto riguarda $phi$??
Non capisco che cosa c'entri l'ellisse.
cioè come fai a determinarti dove varia $theta$ e dove varia $phi$??
non mi risulta esatto nessun sistema sopra scritto, se puoi specificarmi l'impostazione del sistema e soprattutto perchè hai scelto determinati intervalli per $ (theta, rho, phi) $ mi faresti un gran favore 
In che senso non ti risulta esatto?
"speculor":
$\{(x=4cos\phisen\theta),(y=4sen\phisen\theta),(z=4cos\theta):}$ con $0<=\phi<=\pi/2$ e $0<=\theta<=\pi/6$
oppure:
$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosen\phi),(z=sqrt(16-\rho^2)):}$ con $0<=\rho<=2$ e $0<=\phi<=\pi/2$
oppure:
$\{(x=u),(y=v),(z=sqrt(16-u^2-v^2)):}$ con $0<=u<=2$ e $0<=v<=sqrt(4-u^2)$
-primo sistema: non capisco con quale criterio hai scelto dove varia $ theta, phi$.
-secondo sistema: $rho$ non deve variare tra 0 e 4? E perche $phi$ è compresa tra $ 0 $ e $pi/2$?
-terzo sistema : nn ho capito proprio la parametrizzazione
La prima parametrizzazione è quella "naturale" in coordinate sferiche:
$\{(x=4cos\phisen\theta),(y=4sen\phisen\theta),(z=4cos\theta):}$
Se $0<=\phi<=2\pi$ e $0<=\theta<=\pi$ "spazzoli" l'intera sfera. Poichè devi "spazzolare" solo la calotta di cui è assegnata la proiezione sul piano $xy$, dovrai avere $0<=\phi<=\pi/2$ perchè la proiezione resti nel primo quadrante, e $0<=\theta<=\pi/6$ perchè la proiezione soddisfi la condizione $x^2+y^2<=4$. Del resto:
$x^2+y^2<=4 rarr z^2>=12 rarr 16cos^2\theta>=12 rarr cos^2\theta>=3/4 rarr cos\theta>=sqrt(3)/2 rarr 0<=\theta<=\pi/6$
$\{(x=4cos\phisen\theta),(y=4sen\phisen\theta),(z=4cos\theta):}$
Se $0<=\phi<=2\pi$ e $0<=\theta<=\pi$ "spazzoli" l'intera sfera. Poichè devi "spazzolare" solo la calotta di cui è assegnata la proiezione sul piano $xy$, dovrai avere $0<=\phi<=\pi/2$ perchè la proiezione resti nel primo quadrante, e $0<=\theta<=\pi/6$ perchè la proiezione soddisfi la condizione $x^2+y^2<=4$. Del resto:
$x^2+y^2<=4 rarr z^2>=12 rarr 16cos^2\theta>=12 rarr cos^2\theta>=3/4 rarr cos\theta>=sqrt(3)/2 rarr 0<=\theta<=\pi/6$
grazie 1000 ^^
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