Calcolo di integrale doppio, passaggio in coordinate polari
Ciao a tutti, vi scrivo perché sto preparando l'esame di analisi II e sto impazzendo dietro ad un integrale. Ho il seguente problema sul quale vi chiederei un consiglio:
Dati
[tex]f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}[/tex]
e
[tex]A=\{(x,y) \in \mathbf{R} : \sqrt(2)x \geq 1, \; x^2+y^2 \leq 1\}[/tex]
si calcoli
[tex]I=\iint_A dxdy \; f(x,y)[/tex]
Io ho proceduto così:
[tex]x^2+y^2 \leq 1[/tex] identifica la palla di raggio $1$ e centro $0$
[tex]\sqrt(2)x \geq 1 \; \rightarrow \; x \geq \frac{\sqrt2}{2}[/tex] identifica il semipiano a destra della retta $x=sqrt2/2$
quindi il dominio su cui devo integrare è la parte di palla $B(0,1)$ a destra della retta $x=sqrt2/2$
(chiedo scusa per l'immagine caricata, ho dei problemi con i plugin Java e quindi non sono riuscito a inserire un grafico come consigliato da voi)
Voglio integrare con $x$ variabile libera, quindi ho $x \in [sqrt2/2,1]$. Ricavo $y$:
$x^2+y^2 \leq 1$
$y^2 \leq 1 - x^2$
$y \leq \pm sqrt(1-x^2)$
Quindi ho
[tex]I = \iint_{[\frac{sqrt2}{2},1] \times [-sqrt{1-x^2}, sqrt{1-x^2}]}dxdy \; \frac{x^2}{x^2+y^2}[/tex]
A questo punto, poiché ho dei quadrati mi piacerebbe passare alle coordinate polari
[tex]\begin{cases} x=\rho \cos\theta \\ y=\rho \sin\theta\end{cases}[/tex]
così da calcolare avrei solo
[tex]\int d\rho \; \rho \int d\theta \; \cos ^2 \theta[/tex]
ho qui, però, dei problemi a riscrivermi gli estremi di integrazione in funzione delle coordinate polari poiché mi ritrovo che l'integrale in $d\theta$ lo dovrei calcolare con gli estremi $[-sqrt{1-\rho^2\cos^2\theta},sqrt{1-\rho^2\cos^2\theta}]$ e non ne vengo a capo.
Mi potete per favore aiutare ad uscire da questa situazione? Immagino di avere sbagliato (probabilmente stupidamente) qualche passaggio, ma ho rifatto un paio di volte i conti e torno sempre qui...
Vi ringrazio anticipatamente tutti,
Luca
Dati
[tex]f(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases}[/tex]
e
[tex]A=\{(x,y) \in \mathbf{R} : \sqrt(2)x \geq 1, \; x^2+y^2 \leq 1\}[/tex]
si calcoli
[tex]I=\iint_A dxdy \; f(x,y)[/tex]
Io ho proceduto così:
[tex]x^2+y^2 \leq 1[/tex] identifica la palla di raggio $1$ e centro $0$
[tex]\sqrt(2)x \geq 1 \; \rightarrow \; x \geq \frac{\sqrt2}{2}[/tex] identifica il semipiano a destra della retta $x=sqrt2/2$
quindi il dominio su cui devo integrare è la parte di palla $B(0,1)$ a destra della retta $x=sqrt2/2$
(chiedo scusa per l'immagine caricata, ho dei problemi con i plugin Java e quindi non sono riuscito a inserire un grafico come consigliato da voi)
Voglio integrare con $x$ variabile libera, quindi ho $x \in [sqrt2/2,1]$. Ricavo $y$:
$x^2+y^2 \leq 1$
$y^2 \leq 1 - x^2$
$y \leq \pm sqrt(1-x^2)$
Quindi ho
[tex]I = \iint_{[\frac{sqrt2}{2},1] \times [-sqrt{1-x^2}, sqrt{1-x^2}]}dxdy \; \frac{x^2}{x^2+y^2}[/tex]
A questo punto, poiché ho dei quadrati mi piacerebbe passare alle coordinate polari
[tex]\begin{cases} x=\rho \cos\theta \\ y=\rho \sin\theta\end{cases}[/tex]
così da calcolare avrei solo
[tex]\int d\rho \; \rho \int d\theta \; \cos ^2 \theta[/tex]
ho qui, però, dei problemi a riscrivermi gli estremi di integrazione in funzione delle coordinate polari poiché mi ritrovo che l'integrale in $d\theta$ lo dovrei calcolare con gli estremi $[-sqrt{1-\rho^2\cos^2\theta},sqrt{1-\rho^2\cos^2\theta}]$ e non ne vengo a capo.
Mi potete per favore aiutare ad uscire da questa situazione? Immagino di avere sbagliato (probabilmente stupidamente) qualche passaggio, ma ho rifatto un paio di volte i conti e torno sempre qui...
Vi ringrazio anticipatamente tutti,
Luca
Risposte
Grazie mille TeM!
Ora tutto torna più ragionevolmente
Non ho idea del perché non ci abbia provato prima, dato che è così banale... Grazie ancora!
Luca
Ora tutto torna più ragionevolmente
Non ho idea del perché non ci abbia provato prima, dato che è così banale... Grazie ancora!
Luca
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