Calcolo di Integrale
Ciao a tutti, ho dei problemi con questo integrale:
$ int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x^4)) dx $
Premetto che io l'ho calcolato in un modo che la professoressa ha definito parzialmente sbagliato (anche se non ho la certezza abbia veramente visto come io l'ho risolto, piuttosto ha visto che non ho applicato una formula dei logaritmi con cui lei l'ha risolto).
Il fatto è che il risultato dell'integrale definito è lo stesso, ma ho due funzioni diverse prima di sostituire gli estremi di integrazione!
Vi posto entrambe le strade di risoluzione:
1) $ int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x^4)) dx $ = $ int_(e)^(e^2) 1/(4xlog(x)) dx $ = $ 1/4 int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x)) dx $ = $ 1/4 [log |log (x)|]_(e)^(e^2) $ = $ 1/4 (log (2 log (e)) - log (log (e))) $ = $ 1/4 (log 2) $
2) immaginando la funzione nell'integrale sia la derivata di $ log (|log (x^4)|) $ , faccio la derivata di quest'ultimo per verificare e "sistemarmi" l'integrale. Quindi ho $ log (|log (x^4)|) ' $ = $ (4x^3) / ((x^4)(log (x^4))) $ , semplifico le x e mi rimane da sistemare un 4, perciò davanti l'integrale svolto scrivo 1/4.
$ int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x^4)) dx $ = $ 1/4 [log |log (x^4)|]_(e)^(e^2) $ = $ 1/4 (log (8) - log (4)) $ = $ 1/4 (log (8/4)) $ = $ 1/4 (log 2) $.
Entrambi i modi mi sembrano esatti, ma in uno la x del logaritmo (quando devo sostituire gli estremi) è elevata alla 4a, nell'altro alla 1a. Help!
$ int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x^4)) dx $
Premetto che io l'ho calcolato in un modo che la professoressa ha definito parzialmente sbagliato (anche se non ho la certezza abbia veramente visto come io l'ho risolto, piuttosto ha visto che non ho applicato una formula dei logaritmi con cui lei l'ha risolto).
Il fatto è che il risultato dell'integrale definito è lo stesso, ma ho due funzioni diverse prima di sostituire gli estremi di integrazione!
Vi posto entrambe le strade di risoluzione:
1) $ int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x^4)) dx $ = $ int_(e)^(e^2) 1/(4xlog(x)) dx $ = $ 1/4 int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x)) dx $ = $ 1/4 [log |log (x)|]_(e)^(e^2) $ = $ 1/4 (log (2 log (e)) - log (log (e))) $ = $ 1/4 (log 2) $
2) immaginando la funzione nell'integrale sia la derivata di $ log (|log (x^4)|) $ , faccio la derivata di quest'ultimo per verificare e "sistemarmi" l'integrale. Quindi ho $ log (|log (x^4)|) ' $ = $ (4x^3) / ((x^4)(log (x^4))) $ , semplifico le x e mi rimane da sistemare un 4, perciò davanti l'integrale svolto scrivo 1/4.
$ int_(e)^(e^2) 1/(xlog(x^4)) dx $ = $ 1/4 [log |log (x^4)|]_(e)^(e^2) $ = $ 1/4 (log (8) - log (4)) $ = $ 1/4 (log (8/4)) $ = $ 1/4 (log 2) $.
Entrambi i modi mi sembrano esatti, ma in uno la x del logaritmo (quando devo sostituire gli estremi) è elevata alla 4a, nell'altro alla 1a. Help!
Risposte
Le due primitive differiscono per una costante additiva.
Le due primitive sono la stessa funzione scritta in due modi diversi...infatti il risultato dell'integrale definito è uguale. L'unica differenza è quando usare la proprietà del logaritmo di una potenza. Nel modo 1 lo fai subito semplificando l'integrale da calcolare. Nel modo 2 ti tieni l'integranda un po' più complicata e sfrutti la proprietà dopo aver sostituito gli estremi.
Quindi anche se l'esercizio mi chiedeva l'integrale indefinito, entrambi i risultati erano esatti, giusto? Mi sembrava strano, ma ho avuto le vostre conferme!
Grazie del chiarimento!
Grazie del chiarimento!
Certo. La primitiva non è affatto unica; un integrale indefinito è un insieme di primitive di una funzione, non una funzione sola.
Altro esempio:
[tex]$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x =\arcsin x+C_1$[/tex] ma anche [tex]$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x=-\arccos x+C_2$[/tex]...
Cosa ovvia, perchè:
[tex]$\arcsin x=-\arccos x+\tfrac{\pi}{2}$[/tex].
[tex]$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x =\arcsin x+C_1$[/tex] ma anche [tex]$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \text{d} x=-\arccos x+C_2$[/tex]...
Cosa ovvia, perchè:
[tex]$\arcsin x=-\arccos x+\tfrac{\pi}{2}$[/tex].
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