Calcolo di integrale

[ottanta4]

Dovrei risolvere l'integrale seguente, calcolato da meno infinito a più infinito:
$int ((e^(ix))/(x^3+1))dx$
Potrei usare il Lemma di Jordan, ma il mio problema è che il percorso di integrazione passa sopra una singolarità della funzione integranda, e cioè $x=-1$.
Avete suggerimenti?

[ottanta4]

se modificassi leggermente il cammino di integrazione, nell'adoperare il Lemma di Jordan, sarebbe corretto???

[Sk_Anonymous]

Sia $f(z) = \frac{1}{z^3+1}$, per ogni $z \in CC\setminus\{-1, e^{\pm \pi/3}\}$. Banalmente $|f(Re^{i\theta})|^2 = \frac{1}{R^6 + 2R^3 \cos(3\theta) + 1} \to 0^+$, per $R \to +\infty$, uniformemente rispetto a $\theta \in [0, \pi]$. Posto inoltre $\Gamma_\epsilon := \{-1 + \epsilon e^{i\theta}: \theta \in [0, \pi]\}$, con $0 < \epsilon < 1$, vale $\lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Gamma_\epsilon} f(z) e^{iz} dz = \frac{i}{e^i} \cdot \int_{0}^{\pi} d\theta = \frac{\pi i}{e^i}$. Allora $v.p. \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) e^{ix} dx + \frac{\pi i}{e^i} = Res[f(z) e^{iz}, z = \pi/3]$.

[ottanta4]

ma a me non interessa trovare il valore principale.
Devo calcolare l'integrale (il primo che ti ho scritto). Però, da quello che hai scritto, se nn mi sbaglio (e può darsi che mi sbaglio vista la mia scarsità in materia), l'integrale è uguale semplicemete a $2(pi)i Res[((e^(iz))/(z^3+1));z=e^(i(pi/3))]$, e quindi esso si calcola modificando il cammino di integrazione in maniera tale che la semicirconferenza di raggio infinito, nel lemma di Jordan, non contenga più la singolarità $z=-1$, ma solo la $z=e^(i(pi/3))$... ti prego, dimmi che è giusto perché domani ho un esame

[Sk_Anonymous]

"ottanta4":ma a me non interessa trovare il valore principale.

Quell'integrale non converge, se non in valor principale, visto che in un intorno del punto $x = -1$ l'integranda è asintotica alla funzione $f(x) = c/(x+1)$, per qualche costante $c \ne 0$.

[_nicola de rosa]

"ottanta4":Dovrei risolvere l'integrale seguente, calcolato da meno infinito a più infinito:
$int ((e^(ix))/(x^3+1))dx$
Potrei usare il Lemma di Jordan, ma il mio problema è che il percorso di integrazione passa sopra una singolarità della funzione integranda, e cioè $x=-1$.
Avete suggerimenti?

Essendo la funzione discontinua in $x=-1$ l'integrale va inteso nel senso del valor principale. poi per il calcolo consideriamo la funzione ausiliaria $f(z)=(e^(i*z))/(z^3+1)$ i cui zeri del denominatore sono:
$z^3+1=0->z=(-1)^(1/3)=e^(i*1/3*(pi+2kpi)),k=0,1,2$. Di questi tre poli quelli che interessano al calcolo sono due e sono $z=-1$ sull'asse reale e $z=e^(i*pi/3)$ nel semipiano $Imz>0$. Per cui
$int_{-infty}^{+infty}(e^(i*z))/(z^3+1)dz=2pi*i*R[e^(i*pi/3)]+i*piR[-1]$ e nota come il residuo del polo sull'asse reale è considerato la metà di quello nel semipiano $Imz>0$.
Ora si calcola $R[-1]=1/3*e^(-i),R[e^(i*pi/3)]=(e^(i*e^(i*pi/3)))/(3*e^(i*2pi/3))$ per cui
$int_{-infty}^{+infty}(e^(i*x))/(x^3+1)dx=(i*pi/3)(e^(-i)+2*(e^(i*e^(i*pi/3)))/(e^(i*2pi/3)))=pi/3*(e^(i*(pi/2-1))+2*e^(-i*pi/6+e^(i*5/6pi)))$
=$pi/3*(e^(i*(pi/2-1))+2*e^(-i*pi/6-1/2sqrt3+i/2))=pi/3*(e^(i*(pi/2-1))+2*e^(-1/2sqrt3)*e^(i(1/2-pi/6)))$=
$pi/3*[(cos(pi/2-1)+2*e^(-1/2sqrt3)*cos(1/2-pi/6))+i(sin(pi/2-1)+2*e^(-1/2sqrt3)*sin(1/2-pi/6))]$

[Sk_Anonymous]

Sì, c'è un 2 di troppo nei miei (beceri) conti. Edito!

[ottanta4]

ok...ringrazio entrambi!