Calcolo di derivate parziali

[Michele881]

Ragazzi, sarà che sto studiando da stamattina, sarà il caldo non lo so, fatto sta che mi sto incartando nel calcolo delle derivate parziali della funzione

$f(x,y) = |x-y|e^(-x^2 y^2) $

Ogni volta che le calcolo mi vengono diverse

Voi che mi dite?

[DuxDjo]

Allora premesso che anch'io studio da stamani,
ho fatto la derivata rispetto ad x,facendo la derivazione di un prodotto mi viene:

$\(delf)/(delx)=(x-y)/|x-y|*e^(-x^2*y^2)+|x-y|*e^(-x^2*y^2)*(-2*x*y^2)$

mi pare corretto comunque.
Per derivare rispetto ad y è lo stesso.

[saruman87]

"Michele88":Ragazzi, sarà che sto studiando da stamattina, sarà il caldo non lo so, fatto sta che mi sto incartando nel calcolo delle derivate parziali della funzione

$f(x,y) = |x-y|e^(-x^2 y^2) $

Ogni volta che le calcolo mi vengono diverse

Voi che mi dite?

Se hai il Derive usalo perchè ti semplifichi di molto la vita e riesci a capire meglio come risolvere i problemi

Comunque la derivata di $f(x,y)$ riseptto a $x$ è

$(e^(- x^2·y^2) + 2·x·y^2·e^(- x^2·y^2)·(y - x))·|(x - y)|$

mentre la derivata rispetto a $y$ è

$- e^(- x^2·y^2)·(2·x^3·y - 2·x^2·y^2 + 1)·|(x - y)|$

[franced]

"Michele88":Ragazzi, sarà che sto studiando da stamattina, sarà il caldo non lo so, fatto sta che mi sto incartando nel calcolo delle derivate parziali della funzione

$f(x,y) = |x-y|e^(-x^2 y^2) $

Se scambi $x$ con $y$ trovi:

$f(x,y) = f(y,x)$

cioè la funzione è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Questo può fare molto comodo..

Scusate ma sono un pò fissato sulle simmetrie, sarà perché sto finendo
di leggere il libro "il disordine perfetto".
Lo consiglio a tutti!

[Michele881]

Grazie a tutti e tre per l'aiuto!

"franced":
la funzione è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Questo può fare molto comodo..

effettivamente non ci avevo pensato, quindi mi basta studiarla sopra la bisettrice e cosi elimino il modulo! bene bene...

"franced":
Scusate ma sono un pò fissato sulle simmetrie, sarà perché sto finendo
di leggere il libro "il disordine perfetto".
Lo consiglio a tutti!

Lo sto leggendo anch'io, ma con l'esame di Analisi II che incombi l ho un po messo da parte

[franced]

"Michele88":Grazie a tutti e tre per l'aiuto!

[quote="franced"]
la funzione è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Questo può fare molto comodo..

effettivamente non ci avevo pensato, quindi mi basta studiarla sopra la bisettrice e cosi elimino il modulo! bene bene...

[/quote]

No, non è quello il senso.
E' chiaro che se la studi per $y \leq x$ (quindi sotto la bisettrice $y=x$, non sopra come dici tu) puoi
togliere il valore assoluto.
Quello che dico io è la cosa seguente:
visto che

$f(x,y) = |x-y|e^{-x^2 y^2} = |y-x| e^{-y^2 x^2} = f(y,x)$

si trova facilmente che

$(\del f(x,y)) / (\del x) = (\del f(y,x)) / (\del y) $

[franced]

"franced":

$(\del f(x,y)) / (\del x) = (\del f(y,x)) / (\del y)$

Spiego il significato di questa uguaglianza:
se prendi il punto $(x_0;y_0)$ e ti calcoli la derivata lungo $x$,
ottieni lo stesso risultato derivando lungo $y$ la stessa funzione
ma stavolta nel punto simmetrico rispetto alla bisettrice $y=x$,
cioè nel punto di coordinate $(y_0;x_0)$.

Ovviamente vale anche la relazione:

$(\del f(x,y)) / (\del y) = (\del f(y,x)) / (\del x)$

[franced]

In pratica, dopo che ti sei calcolato la derivata lungo $x$,
per ottenere la derivata parziale rispetto a $y$ è sufficiente
prendere l'espressione di $(\del f (x,y))/(\del x)$ e scambiare
$x$ con $y$: l'espressione che viene fuori è proprio $(\del f (x,y))/(\del y)$.

Prova con la funzione

$f(x,y) = x^2 y + x y^2$ ;

$(\del f (x,y))/(\del x) = 2xy + y^2$

per ottenere $(\del f (x,y))/(\del y)$ basta scambiare la $x$ con la $y$:

$(\del f (x,y))/(\del y) = 2yx + x^2$.

Verifica e vedrai che ho ragione!

[Michele881]

Sisi il ragionamento fila, però effettivamente non mi converebbe studiare la funzione sopra la retta y=x e poi "rispecchiare" i risultati? Credo di si!