Calcolo di derivate n-esime

[anti-spells]

Sia $h : RR \to RR$ derivabile 8 volte tale che $h(x) = x^4 + o(x^8)$ . Calcolare la derivata sesta, calcolata in $x_0 = 0$ , della funzione $g_3h$ , dove $g_3(x) = log(1 + x^2)$ .

Non ho la più pallida idea di come farlo, ovviamente calcolare la derivata sesta a mano non ha senso, quindi cosa devo fare?

[ondine1]

Ciao, prova scrivere lo sviluppo in serie di Taylor della funzione $log(1+x^2)$ con centro $x_0=0$, fermandoti dopo qualche termine. Poi calcolati $g_3h$ ricordandoti la definizione di $o(x^8)$..

[anti-spells]

Ok, quindi $log(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + o(x^6)$
Secondo la definizione di o-piccolo, si ha che $x^m = o(x^8)$ per $m>8$ , quindi
$g_3h(x) = (x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} + o(x^6))(x^4 + o(x^8))$ , sviluppo il prodotto, elido i termini del tipo $x^m$ per $m>n$ che diventano $o(x^n)$ e calcolo la derivata sesta a mano (con n intendo l' o-piccolo di potenza minore che otterrò dopo il prodotto)?

Grazie per la risposta intanto

[ondine1]

Esatto

[donald_zeka]

Non c'è bisogno di calcolare la derivata sesta, basta sapere i coefficienti del polinomio di Taylor

[anti-spells]

Si mi sa anche a me, se sviluppo il prodotto ottengo che $g_3h(x) = x^6 - \frac{x^8}{2} + \frac{x^10}{3} + o(x^10)$ , derivando questo sei volte ottengo $720(1 - 14x^2 + 70x^4 + o(x^4))$ che è molto brutto da vedere.

[ondine1]

Si, scritto in quel modo è effettivamente brutto da vedere
Il prodotto lo puoi scrivere semplicemente come $x^6 +o(x^6)$ e derivando sei volte e calcolando la derivata in 0 risulta semplicemente $6! =720$.

[donald_zeka]

Si ma non avete capito cosa intendevo...una volta noto il polinomio di Taylor i coefficienti dei singoli termini hanno una particolare espressione che coinvolge le derivate n-esime...

[ondine1]

"Vulplasir":Si ma non avete capito cosa intendevo...una volta noto il polinomio di Taylor i coefficienti dei singoli termini hanno una particolare espressione che coinvolge le derivate n-esime...

Sisi avevo capito cosa intendevi in ogni caso una volta calcolato lo sviluppo di $g_3h$ si fa presto a ricavare il risultato anche senza ricordarsi che per ottenere la soluzione si possono uguagliare i coefficienti della sesta potenza del polinomio di Taylor ($1/(6 !)(d^6g_3h)/(dx^6)|_(x=0)=1$)