Calcolo di centro di massa: dove sta l'inghippo?
Buongiorno a tutti, inoltro in questa stanza il problema nato in questa discussione in Fisica.
Riguarda il calcolo delle coordinate del centro di massa del rettangolo:
con densità data da:$" "rho(x,y)=k_1|x|+k_2(y+3)$ .
Il problema riguarda in particolare l'ordinata $y_(CM)$ del centro di massa: il risultato fornito dal testo è $1$, e ci sono considerazioni di geometria elementare individuate e ben esposte da @mgrau nella discussione che ho linkato per arrivare facilmente a confermare come praticamente ovvia la validità del risultato.
Tuttavia, il calcolo "standard" di tale ordinata porta ad un risultato differente, confermato anche da Wolfram; in particolare, la massa $M=int_Srho(x,y)dxdy" "$del rettangolo dipende, com'è ovvio, da entrambe le costanti $k_1$ e $k_2$, mentre nel calcolo dell'integrale: $I_y=int_Sy*rho(x,y)dxdy" "$la dipendenza da $k_1$ scompare (il termine: $int_-3^(+3)ydyint_-2^(+2)|x|dx$ si annulla per motivi che ci sembrano evidenti), e quindi risulta impossibile che il rapporto $I_y/M$ sia $1$ o qualunque altra cosa che non dipenda da almeno una delle due costanti $k_(1,2)$.
Premesso che di Wolfram non mi fido, ma la domanda sorge spontanea: dove sta l'inghippo?
Riguarda il calcolo delle coordinate del centro di massa del rettangolo:
$" "S:={(x,y)in RR^2 | -2<=x<=2 " et" -3<=y<=3}$
con densità data da:$" "rho(x,y)=k_1|x|+k_2(y+3)$ .
Il problema riguarda in particolare l'ordinata $y_(CM)$ del centro di massa: il risultato fornito dal testo è $1$, e ci sono considerazioni di geometria elementare individuate e ben esposte da @mgrau nella discussione che ho linkato per arrivare facilmente a confermare come praticamente ovvia la validità del risultato.
Tuttavia, il calcolo "standard" di tale ordinata porta ad un risultato differente, confermato anche da Wolfram; in particolare, la massa $M=int_Srho(x,y)dxdy" "$del rettangolo dipende, com'è ovvio, da entrambe le costanti $k_1$ e $k_2$, mentre nel calcolo dell'integrale: $I_y=int_Sy*rho(x,y)dxdy" "$la dipendenza da $k_1$ scompare (il termine: $int_-3^(+3)ydyint_-2^(+2)|x|dx$ si annulla per motivi che ci sembrano evidenti), e quindi risulta impossibile che il rapporto $I_y/M$ sia $1$ o qualunque altra cosa che non dipenda da almeno una delle due costanti $k_(1,2)$.
Premesso che di Wolfram non mi fido, ma la domanda sorge spontanea: dove sta l'inghippo?
Risposte
guarda che è semplicissimo. Con due passaggi trovi
$(int_(-3)^(3)(y+3)dy)/(int_(-3)^(3)(y^2+3y)dy)=1$
Infatti l'integrale del primo addendo si annulla, ovviamente, sia al numeratore che al denominatore...a questo punto si semplifica anche $k_2$ e l'integrale in $dx$
$(int_(-3)^(3)(y+3)dy)/(int_(-3)^(3)(y^2+3y)dy)=1$
Infatti l'integrale del primo addendo si annulla, ovviamente, sia al numeratore che al denominatore...a questo punto si semplifica anche $k_2$ e l'integrale in $dx$
Non ho tanta familiarità con gli integrali, ma non ho capito, perchè fate l'integrale di $ydy$ e non di $(y+3)dy$?
Se non sbaglio, in questo modo la densità come funzione di $y$ ha media zero, ma non è così.
Se non sbaglio, in questo modo la densità come funzione di $y$ ha media zero, ma non è così.
"tommik":
guarda che è semplicissimo. Con due passaggi trovi
$(int_(-3)^(3)(y+3)dy)/(int_(-3)^(3)(y^2+3y)dy)=1$
Infatti l'integrale del primo addendo si annulla, ovviamente, sia al numeratore che al denominatore...a questo punto si semplifica anche $k_2$ e l'integrale in $dx$
Però non è l'integrale giusto. L'hai scritto come reciproco ma ovviamente non è quello il punto che non mi torna, la faccenda è che l'integrale da calcolare è, pure posto $k_1=k_2=1$ il rapporto tra
$\int_-3^3int_-2^2y(|x|+y+3)dxdy$ e $\int_-3^3int_-2^2(|x|+y+3)dxdy$ . Qundi al massimo il pezzo in $y$ da te estratto doveva essere
$(\int_-3^3y(|x|+y+3)dy)/(\int_-3^3(|x|+y+3)dy)$ e come si vede al numeratore la dipendenza da $x$ scompare, al denominatore no.
Io, in generale, mi fido dei conti che faccio da me e posso controllare piuttosto che dei risultati di software o testi.
I conti postati nel thread sono corretti ed il risultato è:
\[
y_C = \frac{3k_2}{k_1 + 3k_2}\; .
\]
Il che mi pare anche sensato dal punto di vista fisico: infatti, nel caso limite in cui \( k_2 \gg k_1\) (cosicché il contributo dell’ascissa alla densità è trascurabile rispetto a quello dell’ordinata e si considera $rho(x,y) = rho^**(x,y) = k_2(y+3)$), risulta $y_C -> 1$ come predetto da mgrau, mentre quando \(k_1 \gg k_2\) (cosicché è il contributo dell’ordinata alla densità ad essere trascurabile e $rho(x,y) = rho^**(x,y) = k_1|x|$), risulta $y_C -> 0$.
I conti postati nel thread sono corretti ed il risultato è:
\[
y_C = \frac{3k_2}{k_1 + 3k_2}\; .
\]
Il che mi pare anche sensato dal punto di vista fisico: infatti, nel caso limite in cui \( k_2 \gg k_1\) (cosicché il contributo dell’ascissa alla densità è trascurabile rispetto a quello dell’ordinata e si considera $rho(x,y) = rho^**(x,y) = k_2(y+3)$), risulta $y_C -> 1$ come predetto da mgrau, mentre quando \(k_1 \gg k_2\) (cosicché è il contributo dell’ordinata alla densità ad essere trascurabile e $rho(x,y) = rho^**(x,y) = k_1|x|$), risulta $y_C -> 0$.
Quindi risolvendolo geometricamente stiamo supponendo implicitamente $k_2$ molto maggiore di $k_1$? Ma in che punto del ragionamento geometrico inseriamo questa condizione? Non ci ho dormita la notte per sta cosa.
Probabilmente, quando approssimate “a casaccio” una densità non uniforme né rispetto ad $x$ né rispetto ad $y$ (quale è quella assegnata) con una densità uniforme rispetto ad $x$ (quale è $k_2(y+3)$).
"Nikikinki":
Però non è l'integrale giusto.
sì ho detto una bella fesseria
a parte il refuso (di trascrizione) del reciproco, ho erroneamente considerato zero l'integrale del primo addendo al denominatore. Rifacendo i conti mi torna evidentemente (e molto semplicemente) il risultato di @gugo82
@tommik: Dovessi contare le fesserie che ho detto e certamente dirò ancora, ci potrei riempire una biblioteca. Probabilmente è inevitabile 
Bene, allora abbiamo quantomeno confermato che il ragionamento analitico è quello corretto. Deve poter essere risolvibile anche geometricamente e l'osservazione di @gugo82 mi fa pensare che forse abbiamo immaginato in modo errato il volume sotteso alla funzione $\rho(x,y)$ o qualcosa di simile. Nel pomeriggio mi ci metto, magari torneremo a bussare di nuovuo alla vostra porta
. Grazie a entrambi.
Bene, allora abbiamo quantomeno confermato che il ragionamento analitico è quello corretto. Deve poter essere risolvibile anche geometricamente e l'osservazione di @gugo82 mi fa pensare che forse abbiamo immaginato in modo errato il volume sotteso alla funzione $\rho(x,y)$ o qualcosa di simile. Nel pomeriggio mi ci metto, magari torneremo a bussare di nuovuo alla vostra porta
. Grazie a entrambi.
Non sono d'accordo con @gugo82
e neanche con @nikikinky
Nella dimostrazione geometrica non ci sono approssimazioni. Nella figura
tutti i triangoli del tipo di quello tratteggiato hanno la y del CM in y = 1, e questo non dipende nè da $k_1$ nè da $k_2$; e di conseguenza questo vale anche per l'intera figura. Salvo che abbia preso una cantonata...
nel caso limite in cui k2≫k1 (cosicché il contributo dell’ascissa alla densità è trascurabile rispetto a quello dell’ordinata e si considera ρ(x,y)=ρ∗(x,y)=k2(y+3)), risulta yC→1 come predetto da mgrau, mentre quando k1≫k2 (cosicché è il contributo dell’ordinata alla densità ad essere trascurabile e ρ(x,y)=ρ∗(x,y)=k1|x|), risulta yC→0.
e neanche con @nikikinky
Quindi risolvendolo geometricamente stiamo supponendo implicitamente k2 molto maggiore di k1?
Nella dimostrazione geometrica non ci sono approssimazioni. Nella figura
tutti i triangoli del tipo di quello tratteggiato hanno la y del CM in y = 1, e questo non dipende nè da $k_1$ nè da $k_2$; e di conseguenza questo vale anche per l'intera figura. Salvo che abbia preso una cantonata...
Io non sono per niente d'accordo con chi dice che la densità è una funzione dispari, e da lì che nascono i problemi.
Non vorrei dire una cosa errata,
Però mi sembra che l'elemento infinitesimale di volume nel caso in cui non ci si riconduca al cuneo (uniforme rispetto ad x) non sia un triangolo rettangolo, ma un minisolido molto simile ad un triangolo rettangolo ma che ha una leggera inclinazione sopra, data appunto dall'inclinazione della funzione \(|x|\). Il contributo sulla \(y_{CM}\) risulterebbe così effettivamente dato anche dall'inclinazione di \(|x|\), cioè proprio da \(k_1\). D'altro canto l'elemento di volume sarebbe dato da una quantità che si avvicina infinitamente a \(0\), ma non che valga esattamente \(0\). Solo qualora valesse esattamente \(0\) allora l'infinitesimo di volume coinciderebbe con un triangolo rettangolo, cioè quando sparisce completamente l'apporto di \(|x|\) al calcolo. Non so se mi sono spiegato bene, però forse prendo un granchio...
Però mi sembra che l'elemento infinitesimale di volume nel caso in cui non ci si riconduca al cuneo (uniforme rispetto ad x) non sia un triangolo rettangolo, ma un minisolido molto simile ad un triangolo rettangolo ma che ha una leggera inclinazione sopra, data appunto dall'inclinazione della funzione \(|x|\). Il contributo sulla \(y_{CM}\) risulterebbe così effettivamente dato anche dall'inclinazione di \(|x|\), cioè proprio da \(k_1\). D'altro canto l'elemento di volume sarebbe dato da una quantità che si avvicina infinitamente a \(0\), ma non che valga esattamente \(0\). Solo qualora valesse esattamente \(0\) allora l'infinitesimo di volume coinciderebbe con un triangolo rettangolo, cioè quando sparisce completamente l'apporto di \(|x|\) al calcolo. Non so se mi sono spiegato bene, però forse prendo un granchio...
Credo di aver trovato l'inghippo.
La densità varia in modo che le sue sezioni con piani paralleli al piano $yz$ non siano triangoli rettangoli, bensì trapezi (in grigio il piano $xy$):
fatto verificabile calcolando $rho$ in punti del piano $xy$ corrispondenti al bordo inferiore della lastra, ad esempio in $(1,-3)$ è: $rho(1,-3)=k_1!=0$.
Peccato, il ragionamento di @mgrau era molto carino, e ancor di più mi dispiace dover ammettere che aveva ragione Wolfram.
La densità varia in modo che le sue sezioni con piani paralleli al piano $yz$ non siano triangoli rettangoli, bensì trapezi (in grigio il piano $xy$):
fatto verificabile calcolando $rho$ in punti del piano $xy$ corrispondenti al bordo inferiore della lastra, ad esempio in $(1,-3)$ è: $rho(1,-3)=k_1!=0$.
Peccato, il ragionamento di @mgrau era molto carino, e ancor di più mi dispiace dover ammettere che aveva ragione Wolfram.
Quindi era così, avevamo immaginato male proprio il volume sotteso, il plot non lascia dubbi. Bene, caso chiuso.
Giusto. La cantonata si nascondeva nel pensare che la densità fosse un prodotto di fattori anziché una somma
Faccio ammenda allo svarione preso in precedenza, modificando leggermente il procedimento geometrico.
Ora, visto che la densità è la SOMMA di due termini in x e in y, il solido equivalente diventa l'UNIONE di due solidi:
il primo, variabile in x, è un doppio cuneo
quello variabile in y un cuneo singolo.
Il volume del primo si trova notando che lo spessore medio è $k_1$; mentro lo spessore medio del secondo è $3k_2$
Il CM del primo sta in $y=0$; quello del secondo in $y=1$
Si tratta quindi di trovare il CM di un sistema di due punti, posti in $y=0$ e $y=1$, di massa rispettivamente proporzionale a $k_1$ e $3k_2$, che come è vacile vedere dà $y_(CM) = (3k_2)/(k_1+3k_2)$
Ora, visto che la densità è la SOMMA di due termini in x e in y, il solido equivalente diventa l'UNIONE di due solidi:
il primo, variabile in x, è un doppio cuneo
quello variabile in y un cuneo singolo.
Il volume del primo si trova notando che lo spessore medio è $k_1$; mentro lo spessore medio del secondo è $3k_2$
Il CM del primo sta in $y=0$; quello del secondo in $y=1$
Si tratta quindi di trovare il CM di un sistema di due punti, posti in $y=0$ e $y=1$, di massa rispettivamente proporzionale a $k_1$ e $3k_2$, che come è vacile vedere dà $y_(CM) = (3k_2)/(k_1+3k_2)$
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