Calcolo di aree e solidi

[RoboCroppo]

Buongiorno a tutti, ho un problema per questo esercizio:

Dato l'insieme:

$ D={(x,y)\in R^2: x^2+y^2<=1, x^2+y^2<=2x, y>0} $

Si calcoli l'integrale $ intint_D xydxdxy $ e il volume del solido generato dalla rotazione di $ D $ attorno all'asse $ x $.

Ho disegnato i due cilindroidi nei tre piani e nel piano $ xy $, calcolato l'intersezione ($ (1/2, sqrt3/2) $) e provato a risolverlo in polari o in x-semplice, ma in qualunque caso non mi riesce. Ecco i tre tentativi:

1. $ int_(pi)^(pi/2) int_(0)^(1/2)(rho(rhocos\alpha+1)rhosinalpha) +int_(pi/2)^(0) int_(0)^(1/2)(rho(rhocos\alpha)rhosinalpha) $

2. $ int_(pi)^(4/3 pi) int_(0)^(1)(rho(rhocos\alpha+1)rhosinalpha) +int_(pi/3)^(0) int_(0)^(1)(rho(rhocos\alpha)rhosinalpha) $

3. $ int_(0)^(1/2) int_(0)^(radice(2x-x^2))xy +int_(1/2)^(1) int_(0)^(radice(1-x^2))xy $

Grazie mille in anticicpo.

[ciampax]

Secondo me fai un po' di confusione: perché parli di cilindroidi (????? per ché non cilindri?) che sono figure nello spazio quando qua stiamo valutando un dominio del piano? Disegna $D$ e vedrai che ti risulterà anche semplice ragionare su come integrare (forse, ma dico forse, non hai neanche bisogno di cambiare le coordinate).

P:S:: io userei il terzo integrale che hai scritto.

[RoboCroppo]

Si hai ragione, cilindri .
Ho già diseganto $ D $ nel piano $ xy $ e con tutti e tre i metodi mi viene sbagliato purtroppo. Non capisco dove sbaglio .