Calcolo di aree

[chiara.rotolo]

Salve a tutti, ho un problema con il seguente esercizio.

Calcolare l'area del dominio piano D compreso tra il grafico della funzione f(x) = x√|1-x^2|, l'asse delle ascisse e le rette x = -1 e x = √2

Secondo il risultato del libro, f(x) >= 0 per x Є [0, √2] e f(x) <= 0 per x Є [-1, 0].
Il ragionamento che faccio io è il seguente:

x√|1-x^2| >= 0 se e solo se √|1-x^2| se e solo se l'argomento della radice, cioè |1-x^2| >= 0

Trattandosi di valore assoluto, devo distinguere due casi:

primo caso: 1-x^2 e secondo caso: -1+x^2

Quindi devo studiare la funzione nel primo e nel secondo caso, cioè:

primo caso x√(1-x^2) >= 0 e secondo caso: x√(-1+x^2) >= 0

Ma andando a svolgere i calcoli i risultati non coincidono. Dove sbaglio?

Grazie a chi mi darà una mano.

[fabiomagnifico87]

Non so cosa sia l'area del dominio piano, però c'è un errore di fondo in quello che tu fai.
Un modulo è sempre positivo per definizione, quindi il dominio della radice è tutto R. Quindi poichè la radice esiste ed è positiva su R, quello che determina il segno della funzione è la x che moltiplica la radice.
Quindi f(x)> 0 per x>0, f(x)< 0 per x<0.
Inoltre sai che il tuo piano è limitato all'area compresa tra le rette x=-1 e x=sqrt(2).
E ancora, per f(x)>0 l'area è limitata dall'asse delle ascisse in basso, quindi consideri solo y>0, e per f(x)<0 è limitata dall'asse delle ascisse in alto, quindi consideri y<0.
Riassumendo, f(x)>0 per 0

Cita

Segnala

[relue.KdMP]

L'area da calcolare è composta di 3 parti
1) l'area compresa tra le rette x=-1, x=0, y=0 e la funzione stessa
2) l'area compresa tra le rette x=0, x=1, y=0 e la funzione stessa
3) l'area compresa tra le rette x=1, x=$sqrt(2)$, y=0 e la funzione stessa

Ti faccio notare inoltre che
- la funzione è dispari, quindi l'area della regione 1) è uguale all'area della regione 2)
- la funzione si annulla in x=-1, x=0 e x=1