Calcolo derivata prima
Ciao a tutti! sto cercando di risolvere un esercizio che mi sta dando qualche grattacapo!
definire $ f'(0) $ e quindi calcolarlo sapendo che $ f $ è continua in $ x=0 $ e che per $ xrarr 0 $ risulta $ f(x)=1+2x+O(x^2) $
io sto procedendo in questo modo:
$ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h $
e sostituendo ottengo:
$ lim_(h -> 0) (f(0+h)-f(0))/h $
$ lim_(h -> 0) (1+2h+O((0+h)^2)-1+O(0))/h $
$ lim_(h -> 0) (2h+O((0+h)^2)+O(0))/h $
adesso non so come procedere:
$ lim_(h -> 0) ((2h)/h)+O(((0+h)^2)/h)+(O(0))/h $
$ lim_(h -> 0) 2+O(h)+(O(0))/h $
che dite? almeno fin qua è giusto?
grazie a tutti per l'aiuto!
definire $ f'(0) $ e quindi calcolarlo sapendo che $ f $ è continua in $ x=0 $ e che per $ xrarr 0 $ risulta $ f(x)=1+2x+O(x^2) $
io sto procedendo in questo modo:
$ lim_(h -> 0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h $
e sostituendo ottengo:
$ lim_(h -> 0) (f(0+h)-f(0))/h $
$ lim_(h -> 0) (1+2h+O((0+h)^2)-1+O(0))/h $
$ lim_(h -> 0) (2h+O((0+h)^2)+O(0))/h $
adesso non so come procedere:
$ lim_(h -> 0) ((2h)/h)+O(((0+h)^2)/h)+(O(0))/h $
$ lim_(h -> 0) 2+O(h)+(O(0))/h $
che dite? almeno fin qua è giusto?
grazie a tutti per l'aiuto!
Risposte
Se puoi non usare la definizione di derivata per calcolare $f'(0)$ ti basta notare che, per l'unicità dello sviluppo di Taylor nell'intorno di un punto, $f'(0)$ è il coefficiente di $(x-x_0)$ cioè $2$ in questo caso; altrimenti il procedimento è parzialmente corretto se non fosse per il fatto che hai ignorato totalmente il significato degli o-piccoli...
Ti ricordo che un $o(x-x_0)$ contiene termini che TENDONO A ZERO più velocemente di $(x-x_0)$ quando $x$ si avvicina a $x_0$. Quindi sicuramente se calcolato in $x_0$ l'o-piccolo vale zero; inoltre non è necessario considerare la somma dei limiti se tieni conto che tutti i termini dell'o-piccono sono tutti trascurabili per il calcolo di quel limite.
Ti ricordo che un $o(x-x_0)$ contiene termini che TENDONO A ZERO più velocemente di $(x-x_0)$ quando $x$ si avvicina a $x_0$. Quindi sicuramente se calcolato in $x_0$ l'o-piccolo vale zero; inoltre non è necessario considerare la somma dei limiti se tieni conto che tutti i termini dell'o-piccono sono tutti trascurabili per il calcolo di quel limite.
ciao! come prima cosa grazie per l'aiuto e per il tuo tempo!
non capisco dove devo usare gli o-piccoli, nella funzione ho solo O-grande
Devo obbligatoriamente usare la definizione
non capisco dove devo usare gli o-piccoli, nella funzione ho solo O-grande
Devo obbligatoriamente usare la definizione
Perdonami! Non avevo fatto caso al fatto che la $O$ fosse maiuscola... 
Allora sfrutta il fatto che se $f(h)inO(h)$ vuol dire che $|f(h)|<=C|h|$.
Così hai che $O(0)$ è comunque $0$ e per il sesto puoi usare il teorema dei carabinieri...
Allora sfrutta il fatto che se $f(h)inO(h)$ vuol dire che $|f(h)|<=C|h|$.
Così hai che $O(0)$ è comunque $0$ e per il sesto puoi usare il teorema dei carabinieri...
scusami ma mi son perso
$ f'(0)=lim_(h->0)(f(0+h)-f(0))/(h)=lim_(h->0)(1+2h+O(h^2)-1)/(h) =lim_(h->0)(2h+O(h^2))/(h) $ poiché se $ f(h)inO(0) $ avrei $ |f(h)|<=0 $ cioè $ f(h)=0AAf(h)inO(0) $ .
Inoltre $ |(f(h))/(h)|<=C|h| ->0 $ per ogni funzione nell'O-grande, quindi $ lim_(h->0)(2h+O(h^2))/(h)=2+lim_(h->0)(O(h^2))/(h)=2 $ .
Inoltre $ |(f(h))/(h)|<=C|h| ->0 $ per ogni funzione nell'O-grande, quindi $ lim_(h->0)(2h+O(h^2))/(h)=2+lim_(h->0)(O(h^2))/(h)=2 $ .
grazie davvero!! adesso ho capito!
sei stato molto gentile! e paziente!
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Di nulla!
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