Calcolo derivata prima
Ciao,
anche oggi sono alle prese con gli esercizi di matematica
Ne ho beccato uno che ho tentato di risolvere, ma non avendo a disposizione le soluzioni, vorrei sapere se il mio ragionamento sia o meno corretto...e, di conseguenza lo svolgimento XD
"Definire $f^{\prime}(0)$ e quindi calcolarlo sapendo che $f$ continua in $x = 0$ e che per $x -> 0$ risulta $f(x) = 2 - x + o(x)$
$x -> 0$ mi ha fatto venire in mente gli sviluppi di Taylor, in particolare $1/(1+x) = 1 - x + o(x)$
Notando la somiglianza con la f(x) data dal testo, ho pensato che la mia f(x) sia $f(x) = 1 + 1/(1+x)$ il cui sviluppo per $x -> 0$ mi da la f(x) fornita dal testo.
È coretto?
Se si, posso poi calcolare la derivata.
Grazie
anche oggi sono alle prese con gli esercizi di matematica
Ne ho beccato uno che ho tentato di risolvere, ma non avendo a disposizione le soluzioni, vorrei sapere se il mio ragionamento sia o meno corretto...e, di conseguenza lo svolgimento XD"Definire $f^{\prime}(0)$ e quindi calcolarlo sapendo che $f$ continua in $x = 0$ e che per $x -> 0$ risulta $f(x) = 2 - x + o(x)$
$x -> 0$ mi ha fatto venire in mente gli sviluppi di Taylor, in particolare $1/(1+x) = 1 - x + o(x)$
Notando la somiglianza con la f(x) data dal testo, ho pensato che la mia f(x) sia $f(x) = 1 + 1/(1+x)$ il cui sviluppo per $x -> 0$ mi da la f(x) fornita dal testo.
È coretto?
Se si, posso poi calcolare la derivata.
Grazie
Risposte
Segui tutti i passi del testo. Primo passo: scrivere la definizione di $f'(0)$. Tale definizione coinvolge un limite. Prova a calcolare questo limite usando le informazioni in tuo possesso.
Non correre.
Non correre.
in realtà, dato che hai lo sviluppo di Taylor centrato in x=0 e ti viene chiesto il valore di $f'(0)$, è sufficiente che ricordi la definizione di tale sviluppo e ci arrivi da solo...
allora andiamo per passi XD
definizione di derivata:
$Lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$
a questo punto, mi sembra di capire dal testo che il mil $x_0 = 0$...il che mi porterebbe a ottenere
$Lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h$
a questo punto (premesso che quanto scritto sopra sia corretto) non saprei proprio come andare avanti.
Forse potrei porre il limite uguale al valore di f(x) dato dal testo...ma non so quanto sia corretto o meno
$lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h = 2-x+o(x)$
non linciatemi se il ragionamento é tutto sbagliato XD
in effetti penso che quanto scritto sia sbagliato, in quanto il testo mi evidenzia $x->0$ quindi ha poco senso eguagliare definizione derivata e f(x)
definizione di derivata:
$Lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$
a questo punto, mi sembra di capire dal testo che il mil $x_0 = 0$...il che mi porterebbe a ottenere
$Lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h$
a questo punto (premesso che quanto scritto sopra sia corretto) non saprei proprio come andare avanti.
Forse potrei porre il limite uguale al valore di f(x) dato dal testo...ma non so quanto sia corretto o meno
$lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h = 2-x+o(x)$
non linciatemi se il ragionamento é tutto sbagliato XD
in effetti penso che quanto scritto sia sbagliato, in quanto il testo mi evidenzia $x->0$ quindi ha poco senso eguagliare definizione derivata e f(x)
"gugione":
Forse potrei porre il limite uguale al valore di f(x) dato dal testo...ma non so quanto sia corretto o meno
ecco appunto, non è corretto
hai scritto $f'(0) = Lim_(h->0) (f(0+h)-f(0))/h = 2 - x + o(x) = f(x)$ e vedi da solo perchè non va bene 
Più semplicemente, tu in realtà hai f(x), seppur espressa in serie di taylor: utilizzala dove si conviene, cioè al posto di $f(0+h)$ e di $f(0)$. Non trascurare l'opiccolo di x
Ah, ho capito...devo applicare la definizione
$Lim_(h -> 0) ((2 - (0 + h) + o(0 + h)) - 2 + 0 + o(0))/h = Lim_(h-> 0) (2 - 0 - h + o(0 + h) - 2 + 0 + o(0))/h$
Ora mi domando..$o(0)$ quanto vale? Io l'ho trascurato, considerato $0$.
e quindi ho ottenuto: $Lim_(h -> 0) (-h + o(h))/h$
E anche ho problemi a considerare $o(h)$...
Grazie per il vostro aiuto
$Lim_(h -> 0) ((2 - (0 + h) + o(0 + h)) - 2 + 0 + o(0))/h = Lim_(h-> 0) (2 - 0 - h + o(0 + h) - 2 + 0 + o(0))/h$
Ora mi domando..$o(0)$ quanto vale? Io l'ho trascurato, considerato $0$.
e quindi ho ottenuto: $Lim_(h -> 0) (-h + o(h))/h$
E anche ho problemi a considerare $o(h)$...
Grazie per il vostro aiuto
Anche nell'ultimo passaggio devi usare la definizione... \(o(x)(0)=0\) motivalo tu.
Edit: mi sono accorto di un tuo errore solo quando l'ho rifatto io... o(x) è una classe di funzione ed x è intesa come funzione e non variabile. Quindi a rigore o scrivi come ho scritto io sopra (cosa a dire il vero non ottimale) oppure dici \(f = 2-x+g\) con \(g=o(x) \) e porti avanti \(g\)
Edit: mi sono accorto di un tuo errore solo quando l'ho rifatto io... o(x) è una classe di funzione ed x è intesa come funzione e non variabile. Quindi a rigore o scrivi come ho scritto io sopra (cosa a dire il vero non ottimale) oppure dici \(f = 2-x+g\) con \(g=o(x) \) e porti avanti \(g\)
Beh allora, intanto la definizione di opiccolo si trova dappertutto, già wikipedia ne dà una decente.
Comunque, in modo MOLTO informale puoi dire che o(g(x)) è tutto ciò che va a 0 "più velocemente" di g(x). Questo significa che nel calcolo del limite in cui g$(x)->0$, $o(g(x))$ diventa trascurabile se sommato alla sua g(x). Quindi ad esempio quando hai $ Lim_(h -> 0) (-h + o(h))/h $, quell' o(h) è trascurabile rispetto ad h quando h si avvicina allo zero, quindi lo elimini brutalmente ed il limite fa -1.
Comunque, in modo MOLTO informale puoi dire che o(g(x)) è tutto ciò che va a 0 "più velocemente" di g(x). Questo significa che nel calcolo del limite in cui g$(x)->0$, $o(g(x))$ diventa trascurabile se sommato alla sua g(x). Quindi ad esempio quando hai $ Lim_(h -> 0) (-h + o(h))/h $, quell' o(h) è trascurabile rispetto ad h quando h si avvicina allo zero, quindi lo elimini brutalmente ed il limite fa -1.
Comunque si poteva anche procedere sfruttando la linearità dell'operatore derivata e quindi dedurre che \(f'=-1+g'\) per \(g'=o(x)\). A quel punto dovevi calcolare la seconda derivata. Diciamo che è equivalente.
@poll: Non è necessario essere informali qui, secondo me. Definizione di o-piccolo: una funzione $f$ è un o-piccolo di $h$ per $h\to 0$, cosa che scriviamo $f(h)=o(h)$, se e solo se il rapporto $\frac{f(h)}{h}$ tende a $0$ quando $h\to 0$. Quindi, *per definizione*, si ha che
\[\frac{o(h)}{h}\to 0.\]
Basta usare questa proprietà per risolvere l'esercizio dell'OP, senza citare Wikipedia né eliminare brutalmente niente. E' un procedimento perfettamente rigoroso e corretto.
In queste cose, se uno inizia a fare troppo hand-waving, poi resta sempre col dubbio di avere sbagliato. Ma le definizioni sono abbastanza semplici da essere usate direttamente.
\[\frac{o(h)}{h}\to 0.\]
Basta usare questa proprietà per risolvere l'esercizio dell'OP, senza citare Wikipedia né eliminare brutalmente niente. E' un procedimento perfettamente rigoroso e corretto.
In queste cose, se uno inizia a fare troppo hand-waving, poi resta sempre col dubbio di avere sbagliato. Ma le definizioni sono abbastanza semplici da essere usate direttamente.
Elegantia virtus prima est disse il mio professore di matematica al liceo qui si mette in atto questo credo e ne sono contento.
qui si mette in atto questo credo e ne sono contento.
Attento comunque di due cose.
Il primo è che \(\displaystyle o(x) \) non va confuso con una funzione di nome \(\displaystyle o \) in un compito non dovresti mai scrivere \(\displaystyle o(0) \) perché \(\displaystyle o(0) \) è la classe delle funzioni \(\displaystyle g \) tali che \(\displaystyle \frac{g}{0} \to 0 \) (ovvero non esiste alcuna \(\displaystyle g \) di questo tipo). A seconda del professore immagino possa essere una cosa da nulla come una cosa gravissima. In ogni caso è sbagliato. Nota che siccome \(\displaystyle \sin x\sim x \) in \(\displaystyle 0 \) allora \(\displaystyle o(x) = o(\sin x) \) o anche \(\displaystyle o(\sin) \) oppure, seppur non l'abbia mai visto usare, \(\displaystyle o(\mathrm{id}_{\mathbb{R}}) \) dato che in realtà il nome della variabile è ininfluente.
Il secondo è che il problema ne nasconde un secondo molto più sottile e volendo interessante. Il problema ti chiede di calcolare la derivata di un elemento in base ad un insieme in cui quell'elemento è contenuto. Il problema importante qui è che affinché il problema abbia senso, la derivata non deve cambiare a seconda dell'elemento dell'insieme che stiamo considerando. Lasciando da parte la notazione comunemente usata ed usandone una un po' più formale/algebrica, il problema che ti è stato posto è il seguente:
Sia \(\displaystyle A = \{ g\in C_0 \colon g-2+x \in o(x) \} \) dove con \(\displaystyle C_0 \) segno l'insieme delle funzioni continue in \(\displaystyle 0 \) (questa notazione è non standard). Dimostrare che \(\displaystyle f'(0)=g'(0) \) per ogni \(\displaystyle f,g\in A \) e trovare tale valore.
Tu non te ne sei reso conto ma hai risolto questo problema (tranne per un piccolo commento finale in cui osservi che la derivata non cambia perché ogni elemento di \(\displaystyle o(x) \) possiede la stessa derivata in \(\displaystyle 0 \)). Nota che se invece di \(o(x)\) ci fosse stato un \(o(g)\) qualsiasi non avresti potuto trovare la derivata (o meglio avresti potuto se \(g\)... ).
Il primo è che \(\displaystyle o(x) \) non va confuso con una funzione di nome \(\displaystyle o \) in un compito non dovresti mai scrivere \(\displaystyle o(0) \) perché \(\displaystyle o(0) \) è la classe delle funzioni \(\displaystyle g \) tali che \(\displaystyle \frac{g}{0} \to 0 \) (ovvero non esiste alcuna \(\displaystyle g \) di questo tipo). A seconda del professore immagino possa essere una cosa da nulla come una cosa gravissima. In ogni caso è sbagliato. Nota che siccome \(\displaystyle \sin x\sim x \) in \(\displaystyle 0 \) allora \(\displaystyle o(x) = o(\sin x) \) o anche \(\displaystyle o(\sin) \) oppure, seppur non l'abbia mai visto usare, \(\displaystyle o(\mathrm{id}_{\mathbb{R}}) \) dato che in realtà il nome della variabile è ininfluente.
Il secondo è che il problema ne nasconde un secondo molto più sottile e volendo interessante. Il problema ti chiede di calcolare la derivata di un elemento in base ad un insieme in cui quell'elemento è contenuto. Il problema importante qui è che affinché il problema abbia senso, la derivata non deve cambiare a seconda dell'elemento dell'insieme che stiamo considerando. Lasciando da parte la notazione comunemente usata ed usandone una un po' più formale/algebrica, il problema che ti è stato posto è il seguente:
Sia \(\displaystyle A = \{ g\in C_0 \colon g-2+x \in o(x) \} \) dove con \(\displaystyle C_0 \) segno l'insieme delle funzioni continue in \(\displaystyle 0 \) (questa notazione è non standard). Dimostrare che \(\displaystyle f'(0)=g'(0) \) per ogni \(\displaystyle f,g\in A \) e trovare tale valore.
Tu non te ne sei reso conto ma hai risolto questo problema (tranne per un piccolo commento finale in cui osservi che la derivata non cambia perché ogni elemento di \(\displaystyle o(x) \) possiede la stessa derivata in \(\displaystyle 0 \)). Nota che se invece di \(o(x)\) ci fosse stato un \(o(g)\) qualsiasi non avresti potuto trovare la derivata (o meglio avresti potuto se \(g\)... ).
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