Calcolo derivata direzionale in (0,0)
Calcolare la derivata direzionale in (0,0) nella direzione $\lambda=(\alpha,\beta)$ della funzione $f(x,y)=(x-y)e^(xy).
Allora io ho cercato di farlo ma poi mi blocco con il limite che penso sia 0.
Allora vi spiego come ho fatto:
$[f(t\alpha,t\beta)]/t=(t\alpha,t\beta) e^(t\alphat\beta)=$
$e^(t\alphat\beta)$ quando $t->0$ va a 1$(t\alphat\beta)$ vanno a 0, quindi il mite secondo me è 0? Secondo voi è giusto?
Aspetto una ostra risposta.
Allora io ho cercato di farlo ma poi mi blocco con il limite che penso sia 0.
Allora vi spiego come ho fatto:
$[f(t\alpha,t\beta)]/t=(t\alpha,t\beta) e^(t\alphat\beta)=$
$e^(t\alphat\beta)$ quando $t->0$ va a 1$(t\alphat\beta)$ vanno a 0, quindi il mite secondo me è 0? Secondo voi è giusto?
Aspetto una ostra risposta.
Risposte
A meno che tu non debba utilizzare per forza la definizione di derivata direzionale con il rapporto incrementale è sicuramente più comodo utilizzare metodi alternativi. Se osservi bene il limite ad esempio noterai che è uguale alla derivata in zero della funzione $g(t) = (t\alpha - t\beta)*e^{t^2\alpha\beta}$. $g'(t) = (\alpha - \beta)*e^{t^2\alpha\beta} + 2*\alpha*\beta*t*(t*\alpha - t*\beta)*e^{t^2\alpha\beta}$. La derivata direzionale vale quindi $\alpha - \beta$. Un altro metodo possibile si ottiene usando il differenziale della funzione. $df = e^{xy}(1 + xy - y^2)dx + e^{xy}(x^2 - 1 - xy)dy$. $df(0,0)[\alpha, \beta] = \alpha - \beta$.
scusa ma allora il tuo primo metodo (cioè fare la derivata in 0) non con la definizine di limite che poi è come vorrebbe la prof si può fare con tutte le funzioni, in quella derivata che te hai scritto ho sostituito t=0 e mi è venuto $(\alpha-\beta)$, ma scusa ma secondo te come o avevo tentao è quindi sbagliato?
cioè io non riesco a calcolarmi il limit perchè mettere in evidenza nn serve, limiti notevoli l'unico hc eforse potrebbe andare è $e^x-1/x$, anche se sommo o sottraggo i due membri per uno stesso numero,cioè non so cosa fare, te cosa faresti?
cmq grazie
cioè io non riesco a calcolarmi il limit perchè mettere in evidenza nn serve, limiti notevoli l'unico hc eforse potrebbe andare è $e^x-1/x$, anche se sommo o sottraggo i due membri per uno stesso numero,cioè non so cosa fare, te cosa faresti?
cmq grazie
Entrambi i metodi che ho scritto sono generalizzabili a qualsiasi funzione. Nel caso generale però $g(t) = f(x_0 + tv)$ dove $x_0$ è il punto dove vuoi calcolare la derivata direzionale e $v$ è la direzione. Può anche essere presa come definizione per la derivata direzionale. L'altro metodo richiede la conoscenza del differenziale ed è anch'esso applicabile a qualsiasi caso. Il tuo limite lo puoi comunque risolvere nel modo seguente (senza far ricorso a limiti notevoli o altre tecniche complicate):
$lim_{t \to 0} \frac{f(t\alpha, t\beta)}{t} = lim_{t \to 0} \frac{(t\alpha - t\beta)*e^{\alpha\beta t^2}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{t*(\alpha - \beta)*e^{\alpha\beta*t^2}}{t} = lim_{t \to 0} (\alpha - \beta)e^{\alpha\beta*t^2} = \alpha - \beta
$lim_{t \to 0} \frac{f(t\alpha, t\beta)}{t} = lim_{t \to 0} \frac{(t\alpha - t\beta)*e^{\alpha\beta t^2}}{t} = lim_{t \to 0} \frac{t*(\alpha - \beta)*e^{\alpha\beta*t^2}}{t} = lim_{t \to 0} (\alpha - \beta)e^{\alpha\beta*t^2} = \alpha - \beta
guarda mi sono scordato il $/t$ e infatti adesso è venuto, grazie veramente
scusa ma quella con il differenziale, ma il differenziale non è:
$lim_t->0 f(h,k)/(sqrt(h^2+k^2))$ visto che $x_0,y_0$ è 0, come hai fatto a far venire tutta quella roba, vorrei capire qualcosa in più,
grazie scusami
$lim_t->0 f(h,k)/(sqrt(h^2+k^2))$ visto che $x_0,y_0$ è 0, come hai fatto a far venire tutta quella roba, vorrei capire qualcosa in più,
grazie scusami
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