Calcolo derivata direzionale

[BHK1]

Data la funzione:
$x^2 + 6xy + 10y^2 - 2y$ calcolare la derivata direzionale dove $v=cos(pi/6), sin(pi/6)$.

Non saprei da dove iniziare; devo applicare la definizione di derivata direzionale?

[gugo82]

O applichi la definizione (come limite del rapporto incrementale) o il teorema della derivata direzionale, cioè:

[tex]$\frac{\partial f}{\partial \nu} (x,y) =\langle \text{D} f(x,y), \nu \rangle$[/tex]...

Fa' come più ti piace (senza dimenticare, nel caso tu scelga la seconda strada, di controllare se sono soddisfatte le ipotesi del teorema).

[BHK1]

la definizione della derivata direzionale è

$lim_(h->0) (f(x_0+hv)-f(x_0))/h

sostituisco i valori nel limite?

[Licia9]

a me la derivata direzionale risulta essere zero..
$Dvf=v1*(df)/(dx)(x0,y0)+v2*(df)/(dy)(x0,y0)$
$=cos(pi/6)*(-6+6)+sin(pi/6)*(-18+20-2)$
Confermate?

[j18eos]

"Licia9":...Confermate?

No!

[Licia9]

"j18eos":[quote="Licia9"]...Confermate?

No![/quote]
Molto esaustivo


$(df)/(dx)=2x+6y$
$(df)/(dy)=6x+20y-2$

Se sostituisci $x=-3$ e $y=1$ viene $0$

[j18eos]

Certo ma non si chiede di calcolare tale derivata direzionale in tale punto né in quali punti si annulla!

[BHK1]

Non ho capito in generale come si calcola,
devo calcolare la derivata parziale secondo x e moltiplicarla per il versore, e fare altrettanto per y?

[j18eos]

Devi calcolarti le derivate parziali della funzione [tex]$f$[/tex], scriverle come le componenti di un vettore; il quale si denota con [tex]$\nabla f$[/tex] ed eseguire il prodotto scalare con le componenti del versore (*) o vettore dato!

§§§

(*) Ti ricordo che i versori sono i vettori di norma 1!

[BHK1]

allora le derivata parzialo sono,
$ (del f)/(del x)=2x+6$

$(del f)/(del y)=6x+20y-2 $

$nablaf(x,y)*v=(2x+6, 6x+20y-2)*(cos(pi/6),sin(pi/6))$

giusto?

[Camillo]

$(deltaf)/(deltax) = 2x+6y $ a parte questo errore la derivata direzionale è scritta correttamente adesso svolgi i calcoli arrivando fino al risultato finale valido per il generico punto di coordinate $(x,y) $.

[BHK1]

$D_vf=(sqrt(3)x+3sqrt(3),3x+10y-1)$ per un generico punto.

[Camillo]

"BHK":$D_vf=(sqrt(3)x+3sqrt(3),3x+10y-1)$ per un generico punto.

No . non è corretto , la derivata direzionale non è un vettore con due componenti ma una funzione unica che deriva dal prodotto scalare tra il gradiente della funzione e il versore della direzione secondo cui si deve derivare .
Il risultato è $D_v f(x,y)= sqrt(3)x+3x +3sqrt(3)y+10y-1$.

[fireball1]

"Camillo":[quote="BHK"]$D_vf=(sqrt(3)x+3sqrt(3),3x+10y-1)$ per un generico punto.

No . non è corretto , la derivata direzionale non è un vettore con due componenti ma una funzione unica che deriva dal prodotto scalare tra il gradiente della funzione e il versore della direzione secondo cui si deve derivare .
Il risultato è $D_v f(x,y)= sqrt(3)x+3x +3sqrt(3)y+10y-1$.[/quote]

In generale, il prodotto scalare del gradiente con il versore va bene se la funzione è differenziabile nel punto scelto, altrimenti no.

[BHK1]

Grazie dell'aiuto

[Camillo]

In generale, il prodotto scalare del gradiente con il versore va bene se la funzione è differenziabile nel punto scelto, altrimenti no.

Corretta e importante precisazione da parte di fireball .

[j18eos]

Si è fatto 30 ed ora faccio 31: considerata la funzione [tex]$f(x;y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}\iff(x;y)\neq(0;0)\\0\iff(x;y)=(0;0)\end{cases}$[/tex] essa è continua ma non differenziabile in [tex]$(0;0)$[/tex] ma ivi ammette le derivate prime in qualsiasi direzione! Applicando la formula data e la definizione di derivata direzionale si ottengo risultati distinti in [tex]$(0;0)$[/tex].

[bellalamate]

"BHK":$D_vf=(sqrt(3)x+),3x+10y-1)$ per un generico punto.

$3sqrt(3)y$ errore !! avevi dimenticato la $y$