Calcolo derivata di un integrale
Ciao a tutti! Mi sono trovato di fronte a questo esercizio e non ho idea di come procedere per risolverlo.
Dice: per $x in RR$ sia $f(x)=\int_{x}^{1} (sinh(xy^2)+cos(xy^2)) dy$. Allora quanto vale $f'(0)$?
L'unica cosa che mi è venuta in mente è di calcolare l'integrale ma risulta difficile quindi credo che si debba applicare qualche teorema (forse il teorema di derivazione sotto il segno di integrale). Qualcuno può darmi un suggerimento?
Dice: per $x in RR$ sia $f(x)=\int_{x}^{1} (sinh(xy^2)+cos(xy^2)) dy$. Allora quanto vale $f'(0)$?
L'unica cosa che mi è venuta in mente è di calcolare l'integrale ma risulta difficile quindi credo che si debba applicare qualche teorema (forse il teorema di derivazione sotto il segno di integrale). Qualcuno può darmi un suggerimento?
Risposte
Allora, applicando ciò che mi hai suggerito con $a(x)=x$ e $b(x)=1$ perciò $d/dx a(x)=1$, $d/dx b(x)=0$ e
$(del)/(delx) (sinh(xy^2)+cos(xy^2))=y^2(cosh(xy^2)-sin(xy^2))$ ottengo:
$f'(x)=-sinh(x^3)-cos(x^3)+\int_{x}^{1} y^2(cosh(xy^2)-sin(xy^2))dy$
posto $x=0$ ho:
$f'(0)=-sinh(0)-cos(0)+\int_{0}^{1} y^2(cosh(0)-sin(0))dy= -1+\int_{0}^{1} y^2dy=-1+1/3=-2/3$.
Il risultato è corretto. Ora devo capire se l'ho svolto nel modo corretto! E sopratutto capire come è formulato il teorema sul mio libro. Grazie comunque!
$(del)/(delx) (sinh(xy^2)+cos(xy^2))=y^2(cosh(xy^2)-sin(xy^2))$ ottengo:
$f'(x)=-sinh(x^3)-cos(x^3)+\int_{x}^{1} y^2(cosh(xy^2)-sin(xy^2))dy$
posto $x=0$ ho:
$f'(0)=-sinh(0)-cos(0)+\int_{0}^{1} y^2(cosh(0)-sin(0))dy= -1+\int_{0}^{1} y^2dy=-1+1/3=-2/3$.
Il risultato è corretto. Ora devo capire se l'ho svolto nel modo corretto! E sopratutto capire come è formulato il teorema sul mio libro. Grazie comunque!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo