Calcolo derivata dell'inversa
Buongiorno, dovrei risolvere il seguente esercizio ma non ho idea di come fare. (Ho letto più volte la teoria e provato in vari modi ma non ho ottenuto nulla.)
Data la funzione $ f(x)= e^X + arctan x + x $ , calcolare la derivata dell'inversa $ f^-1 $ in $ y=1 $ .
Se $ z = g(y) $ è derivabile in $ y=1 $ con $ g'(1) = 3/2 $ , posto $ h(x) = g(f(x)) $, quanto vale $ h'(0) $?
La soluzione è: $ (f^-1)'(1) = 1/(f'(0)) = 1/3 $, essendo $ f(0) = 1 $ e $ f'(x) = e ^ x + 1 / (x^2 + 1) + 1 $.
Sono fermo alla prima parte che ho provato a risolvere in due modi. Il primo è stato quello di calcolare l'inversa della funzione con $ f^-1 = 1/(f'(x)) $ ma il risultato non torna. Poi ho provato a trovare l'inverso della funzione e a derivare ma anche quello non torna. Qualcuno sa indicarmi i passaggi da seguire?
Data la funzione $ f(x)= e^X + arctan x + x $ , calcolare la derivata dell'inversa $ f^-1 $ in $ y=1 $ .
Se $ z = g(y) $ è derivabile in $ y=1 $ con $ g'(1) = 3/2 $ , posto $ h(x) = g(f(x)) $, quanto vale $ h'(0) $?
La soluzione è: $ (f^-1)'(1) = 1/(f'(0)) = 1/3 $, essendo $ f(0) = 1 $ e $ f'(x) = e ^ x + 1 / (x^2 + 1) + 1 $.
Sono fermo alla prima parte che ho provato a risolvere in due modi. Il primo è stato quello di calcolare l'inversa della funzione con $ f^-1 = 1/(f'(x)) $ ma il risultato non torna. Poi ho provato a trovare l'inverso della funzione e a derivare ma anche quello non torna. Qualcuno sa indicarmi i passaggi da seguire?
Risposte
Se $x_0$ è il punto del dominio di $f(x_0)=y_0$ (cioè se $x_0=f^(-1)(y_0)$), il Teorema di Derivazione della Funzione Inversa ti assicura che:
$("d")/("d"y) f^(-1)(y_0) = 1/(f^\prime(x_0))$.
Quindi per risolvere ti servono tre cose: 1) devi provare che $f$ è invertibile, 2) devi trovare $x_0$ tale che $f(x_0) = y_0$ e 3) calcolare $f^\prime(x)$; poi metti tutto insieme sfruttando la formula.
$("d")/("d"y) f^(-1)(y_0) = 1/(f^\prime(x_0))$.
Quindi per risolvere ti servono tre cose: 1) devi provare che $f$ è invertibile, 2) devi trovare $x_0$ tale che $f(x_0) = y_0$ e 3) calcolare $f^\prime(x)$; poi metti tutto insieme sfruttando la formula.
Ciao ludotosk,
Benvenuto sul forum!
Naturalmente non provarci neanche a trovare un'espressione esplicita di $f^{- 1} $...
Per il punto 2) del suggerimento di gugo82 troverai un'equazione che non si può risolvere analiticamente, ma si vede ad occhio che la soluzione è $x_0 = ... $
Benvenuto sul forum!
Naturalmente non provarci neanche a trovare un'espressione esplicita di $f^{- 1} $...
Per il punto 2) del suggerimento di gugo82 troverai un'equazione che non si può risolvere analiticamente, ma si vede ad occhio che la soluzione è $x_0 = ... $
"pilloeffe":
Ciao ludotosk,
Benvenuto sul forum!
Naturalmente non provarci neanche a trovare un'espressione esplicita di $f^{- 1} $...
Per il punto 2) del suggerimento di gugo82 troverai un'equazione che non si può risolvere analiticamente, ma si vede ad occhio che la soluzione è $x_0 = ... $
Ciao pilloeffe, grazie per il benvenuto e dell'aiuto.
Mi sembra di intuire quindi che $x_0 $ sia uguale 0.
"ludotosk":
Ciao pilloeffe, grazie per il benvenuto e dell'aiuto.
Prego.
"ludotosk":
Mi sembra di intuire quindi che $x_0$ sia uguale 0.
Esatto.
"ludotosk":
2) per avere $e^x+arctan(x)+x=1 $ pongo $ x=0 $
No attenzione, non è che poni: è che l'equazione che hai scritto ha soluzione $x_0 = 0 $
"ludotosk":
3) $\lim_(x \to 0) f^-1(x)=\lim_(x \to 0) 1/(e^x + 1/(1+x^2) + 1) = 1/3 $ che è il risultato che cercavo.
Spero solo sia giusto il procedimento.
No attenzione, il limite non c'entra nulla, guarda bene ciò che ti ha scritto gugo82:
$ ("d")/("d"y) f^(-1)(y_0) = 1/(f^\prime(x_0)) $
Nel tuo caso essendo $y_0 = 1 $ e $x_0 = 0 $ quest'ultima relazione si scrive nel modo seguente:
$ ("d")/("d"y) f^(-1)(1) = 1/(f^\prime(0)) = 1/(e^x + 1/(1+x^2) + 1)_{x = x_0 = 0} = 1/3 $
"pilloeffe":
[quote="ludotosk"]
2) per avere $ e^x+arctan(x)+x=1 $ pongo $ x=0 $
No attenzione, non è che poni: è che l'equazione che hai scritto ha soluzione $ x_0 = 0 $
[/quote]
Ok, ho capito grazie.
"pilloeffe":
[quote="ludotosk"]
3) $ \lim_(x \to 0) f^-1(x)=\lim_(x \to 0) 1/(e^x + 1/(1+x^2) + 1) = 1/3 $ che è il risultato che cercavo.
Spero solo sia giusto il procedimento.
No attenzione, il limite non c'entra nulla, guarda bene ciò che ti ha scritto gugo82:
$ ("d")/("d"y) f^(-1)(y_0) = 1/(f^\prime(x_0)) $
Nel tuo caso essendo $ y_0 = 1 $ e $ x_0 = 0 $ quest'ultima relazione si scrive nel modo seguente:
$ ("d")/("d"y) f^(-1)(1) = 1/(f^\prime(0)) = 1/(e^x + 1/(1+x^2) + 1)_{x = x_0 = 0} = 1/3 $[/quote]
Spero di non dire cavolate perché sono molto confuso in merito. Questa notazione usata da gugo82:
$ ("d")/("d"y) f^(-1)(y_0) = 1/(f^\prime(x_0)) $
Equivale a:
$ (f^-1)(y_0) = 1/(f'(x_0)) $?
Perché non ho ben capito il significato di $ d/dy $. Cioè nella teoria dell'inversa della derivata l'ho trovata scritta senza $ d/dy $.
"ludotosk":
Equivale a:
$(f^{- 1})(y_0)=1/(f'(x_0)) $?
No, equivale a
$ (f^{- 1})'(y_0)=1/(f'(x_0)) = 1/(f'(f^{- 1}(y_0))) $
D'altronde l'hai scritto anche nel titolo dell'OP: "Calcolo derivata dell'inversa"...
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