Calcolo Derivata

[Myth]

Buon pomeriggio ragazzi , mi potete aiutare con il calcolo di questa derivata? Faccio ancora un po' di confusione e un chiarimento mi servirebbe molto.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Molto semplicemente, si ha:

[math]
\begin{aligned}
\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)\right]
& = \frac{1}{\frac{1-x}{x^2}}\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{1-x}{x^2}\right) \\
& = \frac{x^2}{1-x}\,\frac{x^2\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(1-x\right) - (1 - x)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^2\right)}{\left(x^2\right)^2} \\
& = \frac{x^2}{1-x}\,\frac{x^2\,(-1) - (1 - x)\,(2\,x)}{x^4} \\
& = \frac{x-2}{x\,(1-x)} \; .
\end{aligned} \\
[/math]

Tutto qui. ;)

[Myth]

Perdonami, mi sono dimenticato di porre la radice quadrata davanti al logaritmo. la f(x) dove riscontro problemi riguardo il segno è la seguente: √(log((1-x)/(x^2)) so che la derivata viene: (2-x)/2(x-1)*x*√(log((1-x)/(x^2))a me invece viene nel seguente modo : (x-2)/√(log((1-x)/(x^2)* (1-x)*x , vorrei capire bene il passaggio riguardo al cambio di segno perchè non mi è molto chiaro. A tal proposito vorrei capire anche come cambierebbe lo svolgimento qualora la f(x) sia in questo modo: log√((1-x)/(x^2))

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Facendo tesoro di quanto calcolato sopra, si ha:

[math]
\begin{aligned}
\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\sqrt{\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)}\,\right]
& = \frac{1}{2\,\sqrt{\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)}}\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)\right] \\
& = \frac{1}{2\,\sqrt{\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)}}\,\frac{x-2}{x\,(1-x)} \\
& = \frac{x - 2}{2\,x\,(1 - x)\,\sqrt{\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)}} \; .
\end{aligned} \\
[/math]

Va da sè che per la proprietà invariantiva moltiplicando numeratore
e denominatore per

[math]-1\\[/math]

la frazione che si ottiene è equivalente:

[math]\begin{aligned}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\sqrt{\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)}\,\right] = \frac{2 - x}{2\,x\,(x - 1)\,\sqrt{\log\left(\frac{1-x}{x^2}\right)}} \; . \end{aligned}\\[/math]

Infine, per quanto concerne l'ultima funzione considerata, si ha:

[math]
\begin{aligned}
\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\log\left(\sqrt{\frac{1-x}{x^2}}\,\right)\right]
& = \frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{x^2}}}\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sqrt{\frac{1-x}{x^2}}\,\right) \\
& = \sqrt{\frac{x^2}{1-x}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{\frac{1-x}{x^2}}}\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{1-x}{x^2}\right) \\
& = \frac{1}{2}\,\frac{x^2}{1-x}\,\frac{x^2\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}(1 - x) - (1 - x)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x^2\right)}{\left(x^2\right)^2} \\
& = \frac{1}{2}\,\frac{x^2}{1-x}\,\frac{x^2\,(-1) - (1 - x)\,(2\,x)}{x^4} \\
& = \frac{x-2}{2\,x\,(1-x)} \; .
\end{aligned} \\
[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)