Calcolo derivata

[carmelo811]

ciao a tt,
mi aiutate a capire dove sbaglio per il calcolo della derivata seconda?
$f'(x)=1+(x+1)/sqrt(x^2+2x)$.
La $f''(x)$ la calcolo considerando la $f'(x)$ come derivata somma di $1+(x+1)/sqrt(x^2+2x)$ e quindi calcolo prima la derivata di 1 (che fa zero) e del secondo termine che considero come derivata di una funzione fratta e il risultato mi viene:
$f''(x)=(sqrt(x^2+2x)-x^2-2x-1)/(sqrt(x^2+2x)*(x^2+2x))$.
please help me
grazie mille
carmelo

[fu^2]

chiamiamo $f'(x)=g(x)=(x+1)/sqrt(x^2+2x)$ in quanto la derivata di 1 è 0.


quindi $g'(x)=(sqrt(x^2+2x)-((x+1)(2x+2))/(2sqrt(x^2+2x)))/(x^2+2x)$ facendo il denominatore comune otteniamo

$g'(x)=(2x^2+4x-2x^2-4x-2)/(2(x^2+2x)^(3/2))=-2/(2(x^2+2x)^(3/2)$ se non ho fatto sviste di calcolo, ma nn mi pare

[carmelo811]

Perfetto, grazie: sbagliavo nel semplificare un $2$.
Adesso devo studiare $f'(x)>0$: è giusto il metodo che uso per la disequazione?:

N: $x+1 > -1 => x > -2$
D: $x^2+2x > 1 => $ valori esterni

ho le disequazioni arrugginite

[Camillo]

prima di tutto devi trovare il denominatore comune che è $sqrt(x^2+2x)$ e quindi riscrivere :
$f'(x) = (sqrt(x^2+x)+x+1)/sqrt(x^2+2x) $

Adesso devi studiare il segno del numeratore : quello del denominatore è senz'altro positivo, ove la funzione è definita...

[carmelo811]

quindi $sqrt(x^2+2x)+x+1>0 => -1>0 =>$ nessuna soluzione $=>$ la funzione nn è mai crescente ed è sempre decrescente nel suo campo di esistenza?? ok grazie
Per $f''(x)$? scrivo:
D: $sqrt(x^2+2x) (x^2+2x)>0 $ adesso basta scrivere una delle due eq, ad es $ x^2+2x>0 => x>0, x<-2$ ?

[codino75]

"carmelo81":quindi $sqrt(x^2+2x)+x+1>0 => -1>0 =>$ nessuna soluzione $=>$ la funzione nn è mai crescente ed è sempre decrescente nel suo campo di esistenza?? ok grazie

puoi spiegare i sucitati passaggi?

[carmelo811]

$sqrt(x^2+2x)+x+1>0 => sqrt(x^2+2x)> -x-1=>x^2+2x>x^2+2x+1=>$ semplifico ed ottengo $-1 > 0$...ho scritto castronerie ??

[codino75]

"carmelo81":$sqrt(x^2+2x)+x+1>0 => sqrt(x^2+2x)> -x-1=>x^2+2x>x^2+2x+1=>$ semplifico ed ottengo $-1 > 0$...ho scritto castronerie ??

non puoi fare l'elevazione al quadrato tout-court in una disequazione se non conosci il segno dei due membri, in quanto potrebbe/ro essere negativi.
mi sono insospettito perche' guardando l'espressione originaria della diseq. e' chiaro che per valori positivi della x e' verificata.....

[fu^2]

"carmelo81":$sqrt(x^2+2x)+x+1>0 => sqrt(x^2+2x)> -x-1=>x^2+2x>x^2+2x+1=>$ semplifico ed ottengo $-1 > 0$...ho scritto castronerie ??

per risolvere questa disequazione, devi sviluppare due "sistemi", in quanto -x-1 può essere maggiore o minore di zero.
se $-x-1>=0->x<-1$ allora la disequazione è come dici te e quindi non ha soluzione.

se $-x-1<0->x>(-1)$ allora l'equazione è soddisfatta se esiste la radice, in quanto un radicando deve essere sempre maggiore di zero per le CE (essendo quindi un numero positivo maggiore di uno negativo, basta vedere le condizioni per cui esiste la radice), ottenendo $x^2+2x>0->x<-2Ux>0$ a sistema con la condizione $x>(-1)$ si ha che la tua disequazione è soddisfatta per $x>0$

EDIT: il tutto come ha appena detto codino75, che non avevo visto che aveva già risposto

[carmelo811]

bene...credo che sia arrivato il momento di ripassare le disequazioni
A questo punto mi date perfavore le ultime dritte per lo studio della disequazione della derivata seconda?
grazie mille

[fu^2]

$f''(x)=-1/((x^2+2x)^(3/2)$
quindi il denominatore non si può mai annullare per le CE, mentre il numeratore è sempre negativo.
la fz non ha quindi punti di flesso

devi studiare i casi in cui $((x^2+2x)^(3/2)>0$, poste le CE sulla radice (x<-2Ux>0) possiamo studiare in modo equivalente la disequazione $x^2+2x>0$ che guarda caso corrisponde esattamente alle CE
essendo il numeratore sempre negativo e il denominatore sempre positivo nel dominio, si ha che la concavità è rivolta sempre verso il basso in quanto $f''(x)<0 AA_(x)inCE$

[carmelo811]

ciao a tt...
1) $f'(x) = (4sqrt(x^2+x)-2x-1)/(2sqrt(x^2+x))$
nell'intervallo $(-infty, -1)$ è descrescente;
nell'intervallo $(0, 0.77)$ è crescente;
nell'intervallo $(0.77, +infty)$ è descrescente;
quando avete due minuti a disposizione, verificate i miei risultati?
2) mi confermate che il denominatore è sempre positivo perche l'indice della radice è pari?
grazie mille
carmelo