Calcolo derivata

[carmelo811]

ciao a tt,
mi aiutate a svolgere la derivata prima e seconda della funzione $f(x)=sqrt(1-x^3)$ ?
grazie mille carmelo

[Cheguevilla]

Volentieri, dov'è che ti blocchi?

[carmelo811]

nello studio della derivata seconda, il primo passaggio mi viene:
$y''=(-6x*(2*sqrt(1-x^3))-((1)/(2*2*sqrt(1-x^3))*(-3x^2)))/(2*(1-x^3))$
nn sn sicuro dell'esattezza dei calcoli...

[TomSawyer1]

Hai $f'(x)=(-3x^2)/(2\sqrt(1 - x^3))$, poi diventa $f''(x)=(3x(x^3 - 4))/(4(1 - x^3)^(3/2))$. Sono calcoli, come al solito noiosi, quando hai una frazione da derivare.

[carmelo811]

ciao e grazie per le risp, cmq il risultato c'è l'ho già: solo che a me nn risulta, per questo ho creato il post, per capire dv sbaglio.
Quando derivo devo utilizzare la derivata di funzione $Dsqrt(x)=1/(2*sqrt(x))$ oppure $Dsqrt(f(x))=(f'(x))/(2*sqrt(f(x)))$ ?
io utilizzo la seconda, ovvero per le funz composte, solo che rispetto il libro, al primo passaggio mi viene un $x^3$ in meno...
si intuisce dv sbaglio?
grazie mille

[cozzataddeo]

"carmelo81":nello studio della derivata seconda, il primo passaggio mi viene:
$y''=(-6x*(2*sqrt(1-x^3))-((1)/(2*2*sqrt(1-x^3))*(-3x^2)))/(2*(1-x^3))$
nn sn sicuro dell'esattezza dei calcoli...

A me viene
$y''=(-6x*(2*sqrt(1-x^3))-((2)/(2*sqrt(1-x^3))*(-3x^2)*(-3x^2)))/(4*(1-x^3))$
le differenze rispetto alla tua sono:
1) nella derivata del denominatore un $2$ sta a numeratore perché moltiplica direttamente la radice del denominatore;
2) nella derivata del denominatore, essendo una funzione composta, si deve moltiplicare la derivata della radice quadrata per la derivata dell'argomento e poi moltiplicare il tutto per la funzione a numeratore non derivata (ecco perché ci sono 2 fattori $-3x^2$);
3) al denominatore il quadrato coinvolge anche il fattore $2$ che diventa $4$;

Svolgendo i calcoli salta fuori il risultato di Tom Sawyer.

"carmelo81":
Quando derivo devo utilizzare la derivata di funzione $Dsqrt(x)=1/(2*sqrt(x))$ oppure $Dsqrt(f(x))=(f'(x))/(2*sqrt(f(x)))$ ?

Tieni conto che le due regole coincidono se poni $f(x)=x$, quindi va sempre bene utilizzare la seconda, che è piú generale...

[carmelo811]

Bene, grazie:
mi viene:
$y''=-3/4*((2x*sqrt(1-x^3))-9x^4)/((1-x^3)*sqrt(1-x^3))$.
Adesso però nn riesco piu ad andare avanti: come tolgo la radice del numeratore?, come semplifico il tutto?
scusate...ma cm avete ben capito, sugnu m'pocu scassiceddu!!
grazie mille
carmelo

[cozzataddeo]

"carmelo81":Bene, grazie:
mi viene:
$y''=-3/4*((2x*sqrt(1-x^3))-9x^4)/((1-x^3)*sqrt(1-x^3))$.
Adesso però nn riesco piu ad andare avanti: come tolgo la radice del numeratore?, come semplifico il tutto?

Non hai fatto denominatore comune in modo corretto.
Risulta:
$y''=(-6x*(2*sqrt(1-x^3))-((2)/(2*sqrt(1-x^3))*(-3x^2)*(-3x^2)))/(4*(1-x^3))=((-12x*(1-x^3)-(9x^4))/sqrt(1-x^3))/(4*(1-x^3))=(3x(-4+4x^3-3x^3))/(4*(1-x^3)sqrt(1-x^3))=(3x(x^3-4))/(4(1-x^3)^(3/2))$

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