Calcolo dell'integrale doppio

[Sk_Anonymous]

Ciao, chiedo gentilmente aiuto per risolvere il seguente quesito:

Calcolare l'integrale doppio della funzione $f(x,y) = x^2+e^y$ sul triangolo chiuso di vertici (0,0), (1,0), (1,3)

Grazie, bye

[MaMo2]

L'equazione della retta passante per i punti (0,0) e (1,3) è:
$y=3x$
L'integrale doppio perciò diventa il seguente integrale iterato:
$int_0^1int_0^(3x)(x^2+e^y)dy dx$
cioè:
$int_0^1(3x^3+e^(3x)-1)dx=e^3/3-7/12$

[carlo232]

"giampfrank":Ciao, chiedo gentilmente aiuto per risolvere il seguente quesito:

Calcolare l'integrale doppio della funzione $f(x,y) = x^2+e^y$ sul triangolo chiuso di vertici (0,0), (1,0), (1,3)

Grazie, bye

A me viene $5/12+e^3/6-e/2$ ma forse è meglio che ricontrolli, se vuoi posto il procedimento.

[cavallipurosangue]

Per farlo si usa il criterio della riduzione. Normalizziamo rispetto ad x.
Quell'integrale diventa quindi equivalente a:
$\int_0^1(\int_0^{3x}e^y+x^2dy)dx=\int_0^1[e^y+x^2y]_0^{3x}dx=\int_0^1e^{3x}+3x^3-1dx=[1/3e^{3x}+3/4x^4-x]_0^1=1/3e^3+3/4-1-1/3={4e^3-7}/{12}$

[cavallipurosangue]

Mi avete preceduto..

[carlo232]

"cavallipurosangue":Per farlo si usa il criterio della riduzione. Normalizziamo rispetto ad x.
Quell'integrale diventa quindi equivalente a:
$\int_0^1(\int_0^{3x}e^y+x^2dy)dx=\int_0^1[e^y+x^2y]_0^{3x}dx=\int_0^1e^{3x}+3x^3-1dx=[1/3e^{3x}+3/4x^4-x]_0^1=1/3e^3+3/4-1-1/3={4e^3-7}/{12}$

A me sembra che tu abbia calcolato l'integrale di area nel trapezio con punti di base maggiore (1,0) (1,3) e base minore (0,0) (0,1), non l'integrale di area nel triangolo

magari mi sbaglio

[cavallipurosangue]

A me non sembra, spiegati meglio..

[carlo232]

"cavallipurosangue":A me non sembra, spiegati meglio..

tu in ogni punto sull'asse delle x nell'intervallo x=0 e x=1 fai variare y tra 0 e 3x, ma vedi subito disegnando che ad esempio quando x=1 allora y e 3 e non varia invece tra 0 e 3.Nella tua soluzione consideri solo la retta di equazione y=3x
ma non la retta di equazione 2x+1 a cui appartiene il lato del triangolo con estremi (0,0) e (1,3)

[cavallipurosangue]

l'ultima retta che tu dici non rappresenta un lato del triangolo, che è invece un triangolo rettangolo che ha ipotenusa che congiunge (0,0) e (1,3)..

[Camillo]

Il lato del triangolo di estremi $(0,0); ( 1, 3)$ ha equazione $ y = 3x $ e quindi il procedimento di cavalli è corretto.

Camillo

[carlo232]

"cavallipurosangue":l'ultima retta che tu dici non rappresenta un lato del triangolo, che è invece un triangolo rettangolo che ha ipotenusa che congiunge (0,0) e (1,3)..

Hai ragione cavallipurosangue, io consideravo il triangolo (0,0) (0,1) (1,3) in tal caso il procedimento era più complicato