Calcolo dell'estremo superiore di un insieme
Ciao amici, ho una lacuna con la seguente nozione, ovvero sull'estremo superiore:
L'esercizio chiede di determinare sia l'estremo superiore che l'estremo inferiore dell'insieme \(\displaystyle A=(n+n^2)/(n-1) :n\in \mathbb{N}, n\ge 2 \).
Io procedo nel seguente modo
Per il \(\displaystyle supA \), si osserva che l'insieme definisce una funzione crescente, inoltre \(\displaystyle A \subseteq \mathbb{N} \), quindi \(\displaystyle A \) non è limitato superiormente.
Invece per \(\displaystyle infA \), si osserva che per \(\displaystyle n=2 \) si ha \(\displaystyle A=6 \), quindi per la definizione di \(\displaystyle infA=k \) se esiste deve verificare le seguente due proprietà
1) \(\displaystyle \forall a \in A \ k \le a \)
2) \(\displaystyle \forall \epsilon \exists a \in A : a \le k+ \epsilon \)
ne segue:
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} \le 6+\epsilon \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} - 6+\epsilon \le 0 \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2 -6n+6 -n\epsilon+\epsilon}{n-1} \le 0 \)
qui mi blocco.
Grazie per le risposte
L'esercizio chiede di determinare sia l'estremo superiore che l'estremo inferiore dell'insieme \(\displaystyle A=(n+n^2)/(n-1) :n\in \mathbb{N}, n\ge 2 \).
Io procedo nel seguente modo
Per il \(\displaystyle supA \), si osserva che l'insieme definisce una funzione crescente, inoltre \(\displaystyle A \subseteq \mathbb{N} \), quindi \(\displaystyle A \) non è limitato superiormente.
Invece per \(\displaystyle infA \), si osserva che per \(\displaystyle n=2 \) si ha \(\displaystyle A=6 \), quindi per la definizione di \(\displaystyle infA=k \) se esiste deve verificare le seguente due proprietà
1) \(\displaystyle \forall a \in A \ k \le a \)
2) \(\displaystyle \forall \epsilon \exists a \in A : a \le k+ \epsilon \)
ne segue:
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} \le 6+\epsilon \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2}{n-1} - 6+\epsilon \le 0 \)
\(\displaystyle \tfrac{n+n^2 -6n+6 -n\epsilon+\epsilon}{n-1} \le 0 \)
qui mi blocco.
Grazie per le risposte
Risposte
Mi sembra un po' confuso. Dove sta il dubbio sul \(\sup\) se hai detto correttamente che la successione tende all'infinito?
Poi, il $6$ è candidato ad essere l'estremo inferiore...
Poi, il $6$ è candidato ad essere l'estremo inferiore...
"galles90":
l'insieme definisce una funzione crescente
Questa frase non significa niente.
inoltre \(\displaystyle A \subseteq \mathbb{N} \)
Non è vero. Ad esempio, se \(n=4\), allora \(\frac{n^2+n}{n-1}=\frac{20}{3}\), che non è un intero.
Già a questo punto mi fermerei a correggere la parte di svolgimento relativa al calcolo del sup. Il risultato è giusto: \(\sup A=+\infty\), ma è molto importante che tu corregga gli errori di forma.
Dopo pensiamo all'inf.
Grazie ad entrambi 
Per le due osservazioni che mi ha fatto dissonance:
1) Intendo dire che è una funzione crescente, quindi presi due \(\displaystyle n_1,n_2 : n_1
2) Invece qui voglio dire che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente.
A presto
Per le due osservazioni che mi ha fatto dissonance:
1) Intendo dire che è una funzione crescente, quindi presi due \(\displaystyle n_1,n_2 : n_1
2) Invece qui voglio dire che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente.
A presto
Non hai risposto alle mie domande e continui ad esprimerti malamente.
1) Chi è questa funzione crescente? Scrivila esplicitamente. Cosa intendi con $n=\infty$?
2) Lo so che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente, ma cosa c'entra qui
1) Chi è questa funzione crescente? Scrivila esplicitamente. Cosa intendi con $n=\infty$?
2) Lo so che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente, ma cosa c'entra qui
Buongiorno,
1)Io intendo come funzione \(\displaystyle f(n)=\tfrac{n+n^2}{n-1} \),
Presi \(\displaystyle n_1 =3, n_2=4 \) si ha :
\(\displaystyle f(n_1)=f(3)=\tfrac{3+3^2}{3-1}=\tfrac{3+9}{2}=\tfrac{12}{2}=6 \)
\(\displaystyle f(n_2)=f(4)=\tfrac{4+4^2}{4-1}=\tfrac{4+16}{3}=\tfrac{20}{3}=\tfrac{20}{3} \)
presi anche \(\displaystyle n_3 =6, n_4=8 \) si ha :
\(\displaystyle f(n_3)=f(6)=\tfrac{6+6^2}{6-1}=\tfrac{6+36}{5}=\tfrac{42}{5}=8,4 \)
\(\displaystyle f(n_4)=f(8)=\tfrac{8+8^2}{8-1}=\tfrac{8+64}{7}=\tfrac{72}{7}=10,28 \)
osservo che al crescere del valore \(\displaystyle n \) cresce anche la sua immagine, quindi per \(\displaystyle n \) abbastanza grande, tipo \(\displaystyle n=\infty \) si verifica che il \(\displaystyle supA=\infty \).
2) Essendo che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente, conferma ancora di più l'osservazione che il \(\displaystyle supA=\infty\).
1)Io intendo come funzione \(\displaystyle f(n)=\tfrac{n+n^2}{n-1} \),
Presi \(\displaystyle n_1 =3, n_2=4 \) si ha :
\(\displaystyle f(n_1)=f(3)=\tfrac{3+3^2}{3-1}=\tfrac{3+9}{2}=\tfrac{12}{2}=6 \)
\(\displaystyle f(n_2)=f(4)=\tfrac{4+4^2}{4-1}=\tfrac{4+16}{3}=\tfrac{20}{3}=\tfrac{20}{3} \)
presi anche \(\displaystyle n_3 =6, n_4=8 \) si ha :
\(\displaystyle f(n_3)=f(6)=\tfrac{6+6^2}{6-1}=\tfrac{6+36}{5}=\tfrac{42}{5}=8,4 \)
\(\displaystyle f(n_4)=f(8)=\tfrac{8+8^2}{8-1}=\tfrac{8+64}{7}=\tfrac{72}{7}=10,28 \)
osservo che al crescere del valore \(\displaystyle n \) cresce anche la sua immagine, quindi per \(\displaystyle n \) abbastanza grande, tipo \(\displaystyle n=\infty \) si verifica che il \(\displaystyle supA=\infty \).
2) Essendo che l'insieme dei numeri naturali non è limitato superiormente, conferma ancora di più l'osservazione che il \(\displaystyle supA=\infty\).
Può essere che faccio confusione con il \(\displaystyle supf(A) \) 
confondendo le due definizioni.
Ciao a presto
confondendo le due definizioni. Ciao a presto
1) Non hai dimostrato nulla. Non puoi dire che \(f\) è crescente. Chi ti dice che \(f(n_1)
2) Lasciamo perdere questa cosa.
---
In ogni caso, io credo di intuire cosa vuoi dire: vuoi dire che, siccome \(\lim_{n\to \infty} f(n)=\infty\) (che è diverso da dire: prendiamo \(n=\infty\)!!!), allora \(\sup A=\infty\). Questo è vero (anche se andrebbe scritto come si deve).
Adesso devi calcolare l'inf. Se riuscissi a dimostrare, ma dimostrare BENE, che \(f\) è crescente allora \(\inf A = f(2)\).
2) Lasciamo perdere questa cosa.
---
In ogni caso, io credo di intuire cosa vuoi dire: vuoi dire che, siccome \(\lim_{n\to \infty} f(n)=\infty\) (che è diverso da dire: prendiamo \(n=\infty\)!!!), allora \(\sup A=\infty\). Questo è vero (anche se andrebbe scritto come si deve).
Adesso devi calcolare l'inf. Se riuscissi a dimostrare, ma dimostrare BENE, che \(f\) è crescente allora \(\inf A = f(2)\).
Ok risolviamo un problema alla volta
se voglio dimostrare che \(\displaystyle f(n) \) è crescente potrei dimostrarlo grazie alla seguente proposizione:
X) La somma di due funzioni crescenti è ancora una funzione crescente ?
se voglio dimostrare che \(\displaystyle f(n) \) è crescente potrei dimostrarlo grazie alla seguente proposizione:
X) La somma di due funzioni crescenti è ancora una funzione crescente ?
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