Calcolo dell'errore di una serie di funzioni
ciao 
ho il seguente esercizio:
mi interesserebbe qualche suggerimento a riguardo..
ho ipotizzato che la serie sia geometrica in un intorno di $1/2$, è corretto?
inoltre non mi è chiara la seconda richiesta: detta f la funzione somma, cosa si intende col "calcolare la f nel punto $-3/2$ a meno di un errore"? In cosa consiste tale errore? Forse intende di procedere al calcolo mediante la serie..
ho il seguente esercizio:
mi interesserebbe qualche suggerimento a riguardo..
ho ipotizzato che la serie sia geometrica in un intorno di $1/2$, è corretto?
inoltre non mi è chiara la seconda richiesta: detta f la funzione somma, cosa si intende col "calcolare la f nel punto $-3/2$ a meno di un errore"? In cosa consiste tale errore? Forse intende di procedere al calcolo mediante la serie..
Risposte
"Suv":
ciao
ho il seguente esercizio:
mi interesserebbe qualche suggerimento a riguardo..
ho ipotizzato che la serie sia geometrica in un intorno di $-1/2$, è corretto?
inoltre non mi è chiara la seconda richiesta: detta f la funzione somma, cosa si intende col "calcolare la f nel punto $-3/2$ a meno di un errore"? In cosa consiste tale errore? Forse intende di procedere al calcolo mediante la serie..
Intanto non trattasi di una serie geometrica. Stai attento, in una serie geometrica il coefficiente moltiplicativo non dipende da $n$. Trattasi di una serie di potenze, così si chiama, di centro $1/2$. Esiste una teoria al riguardo, a leggere la consegna temo che tu debba almeno guardartela.
hai ragione, chiedo venia
procedo mediante cambio di variabile per riportare il centro in $0$ e successivamente calcolo la somma della serie divenuta geometrica... sbaglio?
procedo mediante cambio di variabile per riportare il centro in $0$ e successivamente calcolo la somma della serie divenuta geometrica... sbaglio?
"Suv":
hai ragione, chiedo venia
procedo mediante cambio di variabile per riportare il centro in $0$ e successivamente calcolo la somma della serie divenuta geometrica... sbaglio?
E ridaje!
Non basta cambiare variabile perchè diventi geometrica. Sei sicuro di aver capito il mio messaggio precedente?
giusto, il coeff. moltiplicativo 
in tal caso, come procedere al calcolo della somma?
in tal caso, come procedere al calcolo della somma?
Premesso che il mio invito a studiarti un po' di teoria è caduto nel vuoto, premesso che comincio a credere che di serie ne sai ben poco, premesso che non mi sembra questo il modo giusto di affrontare gli argomenti, bene, premesso tutto ciò, vado a buttarmi in un pozzo. 
Scherzi a parte, devi procedere seguendo questi punti:
1. Determinare il raggio di convergenza (per rispondere alla prima domanda, quella sullo studio della serie).
2. Vedere se $-3/2$ è all'interno del cerchio di convergenza (banale, presumo di sì, altrimenti la seconda domanda non avrebbe senso).
3. Stimare l'errore in $-3/2$ (la parte più impegnativa, non credo che tu abbia la necessaria "scaltrezza" per poterti cimentare, almeno per ora).
Per il punto 1, allego la seguente immagine:
Se non riesci a capire come procedere, non mi rimane che il pozzo.
Scherzi a parte, devi procedere seguendo questi punti:1. Determinare il raggio di convergenza (per rispondere alla prima domanda, quella sullo studio della serie).
2. Vedere se $-3/2$ è all'interno del cerchio di convergenza (banale, presumo di sì, altrimenti la seconda domanda non avrebbe senso).
3. Stimare l'errore in $-3/2$ (la parte più impegnativa, non credo che tu abbia la necessaria "scaltrezza" per poterti cimentare, almeno per ora).
Per il punto 1, allego la seguente immagine:
Se non riesci a capire come procedere, non mi rimane che il pozzo.
Premesso che il mio invito a studiarti un po' di teoria è caduto nel vuoto, premesso che comincio a credere che di serie ne sai ben poco, premesso che non mi sembra questo il modo giusto di affrontare gli argomenti, bene, premesso tutto ciò, vado a buttarmi in un pozzo.
1. Determinare il raggio di convergenza (per rispondere alla prima domanda, quella sullo studio della serie).
2. Vedere se −32 è all'interno del cerchio di convergenza (banale, presumo di sì, altrimenti la seconda domanda non avrebbe senso).
3. Stimare l'errore in −32 (la parte più impegnativa, non credo che tu abbia la necessaria "scaltrezza" per poterti cimentare, almeno per ora).
Per il punto 1, allego la seguente immagine:
Immagine
Se non riesci a capire come procedere, non mi rimane che il pozzo.
grazie per la pazienza, in effetti sto facendo un po' di fretta..
allora: applico Cauchy-Hadamard per il calcolo del raggio di convergenza, dal calcolo mi risulta che il raggio di convergenza è $8$: $-3/2$ ci ricade in pieno.
ritorno al mio dubbio: non riesco a capire a quale sviluppo "noto" assomiglia la serie..
Bene. Ora, dopo aver sostituito $[x=-3/2]$:
$\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(8^n(n+1))(-2)^(3n)$
pensa ad una possibile maggiorazione, utilizzando una serie di cui sai calcolare la somma.
P.S.
Ho visto che sei impegnato anche in altre discussioni sulle serie. Probabilmente ne sai più di quanto immaginavo.
$\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(8^n(n+1))(-2)^(3n)$
pensa ad una possibile maggiorazione, utilizzando una serie di cui sai calcolare la somma.
P.S.
Ho visto che sei impegnato anche in altre discussioni sulle serie. Probabilmente ne sai più di quanto immaginavo.
sembra esserci la possibilità di una maggiorazione mediante una serie geometrica.. la ragione tuttavia non è in $(-1;1)$, bensi è $q=-8$..
altra serie di cui conosco la somma è la serie telescopica, ma la serie in questione non mi sembra esserlo..
altra serie di cui conosco la somma è la serie telescopica, ma la serie in questione non mi sembra esserlo..
Veramente:
$\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(8^n(n+1))(-2)^(3n)=\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(n+1)(-1)^(n)$
Tuttavia, non mi ero accorto che veniva $(-1)^n$. Procedere maggiorando con una serie geometrica non ha più senso. Però si tratta di una serie a segni alterni che soddisfa il teorema di Leibniz, spero tu sappia di che cosa sto parlando. Dai un'occhiata qui:
$\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(8^n(n+1))(-2)^(3n)=\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(n+1)(-1)^(n)$
Tuttavia, non mi ero accorto che veniva $(-1)^n$. Procedere maggiorando con una serie geometrica non ha più senso. Però si tratta di una serie a segni alterni che soddisfa il teorema di Leibniz, spero tu sappia di che cosa sto parlando. Dai un'occhiata qui:
perfetto, non me ne ero accorto che si elidesse.. come vedi vado di furia
ok allora sulla base del fatto che la somma della serie resto, in una serie numerica a segni alterni, si dimostra che è sempre minore del primo termine trascurato, si procederà in tal modo:
$|\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(n+1)(-1)^(n)| < sqrt(n+1)/(n+2) < 10^(-1) $
$ (10sqrt(n+1) - n+2)/(10(n+2)) <0 $
facendola breve, mi risulta $ n >97 $
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... 9%3C1%2F10
ok allora sulla base del fatto che la somma della serie resto, in una serie numerica a segni alterni, si dimostra che è sempre minore del primo termine trascurato, si procederà in tal modo:
$|\sum_{n=0}^(+oo) sqrt(n)/(n+1)(-1)^(n)| < sqrt(n+1)/(n+2) < 10^(-1) $
$ (10sqrt(n+1) - n+2)/(10(n+2)) <0 $
facendola breve, mi risulta $ n >97 $
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sq ... 9%3C1%2F10
Ok. Io però non risolverei la disequazione. Siccome la successione $a_n$ è decrescente, meglio sostituire fino a quando il termine è minore di $1/10$. Poi, per completare e supponendo che si ottenga $n=6$, scriverei semplicemente:
$\sum_{n=0}^(5) sqrt(n)/(n+1)(-1)^(n)$
Non credo sia necessario esplicitare, l'esercizio è più che concluso.
P.S.
Vedo che hai risolto la disequazione. Se corretta, è sicuramente più elegante. Tuttavia, non intendevo sostituire partendo da $1$, si vede a occhio che il termine è circa $n=100$.
$\sum_{n=0}^(5) sqrt(n)/(n+1)(-1)^(n)$
Non credo sia necessario esplicitare, l'esercizio è più che concluso.
P.S.
Vedo che hai risolto la disequazione. Se corretta, è sicuramente più elegante. Tuttavia, non intendevo sostituire partendo da $1$, si vede a occhio che il termine è circa $n=100$.
perfetto, ti ringrazio 
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