Calcolo delle variazioni

[baldo891]

ciao a tutti
studiando meccanica analitica mi sono imbattuto nel calcolo delle variazioni, qui sotto riporto un frammento del mio libro di testo che non ho capito
(premetto che le mie conoscenze di matematica si fermano ad analisi 2)
si dice che un integrale di linea è stazionario lungo un certo percorso, se su di esso assume a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo
lo stesso valore corrispondente ai percorsi che differiscono da quello in esame per uno spostamento infinitesimo. (per il momento ho capito)
Il concetto di valore stazionario di un integrale di linea corrisponde quindi all'annullamento della derivata prima nella teoria delle funzioni ordinarie.perchè?

[VINX89]

Ciao!
Pensa alla definizione di derivata di una funzione: è il limite per $x$ che tende a $x_0$ di

$(f(x) - f(x_0))/(x - x_0)$

Quando un punto è stazionario, cioè la derivata si annulla in quel punto, vuol dire che in un suo intorno, a meno di infinitesimi di ordine superiore,

si ha $f(x) = f(x_0)$: questo vuol dire che la funzione assume lo stesso valore in un intorno del punto considerato, proprio come l'integrale non varia se ci si sposta di poco dalla traiettoria che lo rende stazionario.
I pezzi di ordine superiore che trascuri sono i termini dello sviluppo in serie di Taylor dalla derivata prima in poi:

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + 1/2 f''(x_0)(x - x_0)^2 + spazzatura...$

In definitiva, se $(df)/(dx)|_(x_0) = 0$, vuol dire che la funzione localmente non varia, cioè $df = 0$.

In analogia, nel calcolo delle variazioni, si ha $delta int_a^b f(y,y',x) = 0$.

[Luca.Lussardi]

Sì, l'analogia è quella, anche se nel Calcolo delle Variazioni tutto è molto più complesso, non essendo in dimensione finita.