Calcolo delle variazioni

[Nicos87]

nel calcolo delle variazioni, si dice che la condizione sufficiente affinchè un estremo $X$ sia massimale (minimale) è che la $f$ sia concava (convessa).

La dimostrazione usa questo primo passaggio che io non ho capito: cioè dice

$f(t, X+v, X'+ v') <= f(t, X, X') + f_X(t, X, X')*v+ f_(X')(t, X, X')*v'$

con f concava rispetto a x e x', e v una ammissibile variazione

da dove viene questa formula? perchè è così?

grazie mille

[gugo82]

Se la leggi con attenzione, la disuguaglianza ti sta dicendo che, per ogni fissato [tex]$t$[/tex], il punto [tex]$f(t,X+v,X^\prime +v^\prime)$[/tex] sta sotto al piano tangente al grafico di [tex]$f(t,\cdot, \cdot)$[/tex] nel punto [tex]$(X,X^\prime)$[/tex], il quale ha equazione [tex]$z=f(t,X,X^\prime) +f_X(t,X,X^\prime )\ v +f_{X^\prime}(t,X,X^\prime )\ v^\prime$[/tex].

Quindi la tua disuguaglianza è una conseguenza della concavità dell'integrando rispetto alle ultime due variabili (e dell'esistenza delle sue derivate parziali rispetto a [tex]$X,\ X^\prime$[/tex]).