Calcolo delle superfici con integrali indefiniti (?)
Salve a tutti espongo il mio problema:
Mi è capitato facendo esercizi di analisi di imbattermi in problemi che mi richiedevano il calcolo di una superficie formata da n funzioni con gli integrali, però tutti gli esercizi erano basati su integrali definiti.
Per calcolare tali superfici utilizzavo la seguente formula:
\(S= \int_{a}^{b}[f(x) \text{d}x-g(x)\text{d}x]\)
Nel caso in cui dovessi ritrovare un integrale indefinito come mi comporto?
Attendo risposte
Mi è capitato facendo esercizi di analisi di imbattermi in problemi che mi richiedevano il calcolo di una superficie formata da n funzioni con gli integrali, però tutti gli esercizi erano basati su integrali definiti.
Per calcolare tali superfici utilizzavo la seguente formula:
\(S= \int_{a}^{b}[f(x) \text{d}x-g(x)\text{d}x]\)
Nel caso in cui dovessi ritrovare un integrale indefinito come mi comporto?
Attendo risposte
Risposte
Cosa centrano gli integrali indefiniti con il calcolo delle superfici???????
Assolutamente niente ma di solito l'esercizio mi da l'intervallo sul quale devo svolgere i calcoli necessari per determinare la superficie...stavolta non era indicato l'intervallo.
Scrivi la traccia dell'esercizio: ti assicuro che anche se non sono scritti i valori dell'intervallo, si possono ricavare.
date le funzioni:
\(\ e^x ; e^{-x} ; log(x+1) ; -log(x+1)\)
calcolare la superficie.
\(\ e^x ; e^{-x} ; log(x+1) ; -log(x+1)\)
calcolare la superficie.
Hai provato a disegnare tutte queste curve? Sicuramente avranno dei punti di intersezione ed è in base a questi che determini gli intervalli di integrazione.
si ho messo le funzioni su derive e i punti sono approssimativamente -0,9; 0; e 0,6....solo che nel compito di analisi non posso mettere questi valori :/
????? Non ho capito quale sia il problema: se sgui il metodo che ti ho detto, vengono fuori tute cose lecite. Che sono quei punti?
il problema è che con derive riesco a vedere i punti perchè li trova in automatico, facendolo a mano non so come trovare quei punti.
I puntini non sono niente, errore mio.
I puntini non sono niente, errore mio.
Ma non riesci a fare un disegno di quel dominio? Sul serio?
Il disegno lo so fare. Mi spiego meglio per esempio le due funzioni \(\e^x;log(-x+1)\) si intersecano, secondo derive, in -0.6. Questo -0.6 come faccio a determinarlo?
Ah, ecco, non avevo capito quale fosse il problema. Effettivamente la risoluzione non è semplice. La richiesta è proprio quella di calcolare l'area compresa tra le quattro curve?
si, prima ho sbagliato a scrivere una funzione: non è -log(x+1) ma log(-x+1)
Ok, allora vediamo di ragionarci un po': per prima cosa la figura è una specie di "quadro" del seme delle carte da poker, convieni? Gli estremi più esterni sono dati dalle intersezioni tra le curve $e^{-x},\ \log(1+x)$ e $e^x,\ \log(1-x)$. Ora, per prima cosa, osserva che se in queste coppie di funzioni scambi $x\to -x$ e viceversa, ottieni l'altra coppia: ne segue che il punto di intersezione tra $e^{-x},\ \log(1+x)$ che si trova nel primo quadrante e che indichiamo con $(a,b)$ è simmetrico all'altro punto di intersezione che quindi ha coordinate $(-a,b)$.
Inoltre, per simmetria, basta calcolare l'area della sola parte destra e moltiplicarla per due, al fine di ottenere l'area richiesta. Per cui limitiamoci alle due curve $e^{-x},\ \log(1+x)$ che si intersecano in $A(a,b)$. L'area verrà pertanto uguale al seguente integrale
$2\int_0^a [e^{-x}-\log(1+x)]\ dx=2[[-e^{-x}]_0^a-\{[x\log(x+1)]_0^a-\int_0^a x/{x+1}\ dx\}]=$
$=2[-e^{-a}+1-a\log(a+1)+[x-\log(x+1)]_0^a]=2[-e^{-a}+1-a\log(a+1)+a-\log(a+1)]$
Ora, nel punto di intersezione si ha $e^{-a}=\log(1+a)=b$ e pertanto l'integrale ha il valore seguente
$2[-b+1-ab+a-b]=2[1+a-2b-ab]$
A questo punto si tratta di determinare i valori di $a,b$ in modo approssimato, anche se, in realtà, l'esercizio è formalmente finito (anche se non hai dato un valore numerico esatto).
Inoltre, per simmetria, basta calcolare l'area della sola parte destra e moltiplicarla per due, al fine di ottenere l'area richiesta. Per cui limitiamoci alle due curve $e^{-x},\ \log(1+x)$ che si intersecano in $A(a,b)$. L'area verrà pertanto uguale al seguente integrale
$2\int_0^a [e^{-x}-\log(1+x)]\ dx=2[[-e^{-x}]_0^a-\{[x\log(x+1)]_0^a-\int_0^a x/{x+1}\ dx\}]=$
$=2[-e^{-a}+1-a\log(a+1)+[x-\log(x+1)]_0^a]=2[-e^{-a}+1-a\log(a+1)+a-\log(a+1)]$
Ora, nel punto di intersezione si ha $e^{-a}=\log(1+a)=b$ e pertanto l'integrale ha il valore seguente
$2[-b+1-ab+a-b]=2[1+a-2b-ab]$
A questo punto si tratta di determinare i valori di $a,b$ in modo approssimato, anche se, in realtà, l'esercizio è formalmente finito (anche se non hai dato un valore numerico esatto).
È tutto chiaro ma nel caso volessi trovare a e b? io ho provato a mettere a sistema le due funzioni \(\ e^x;log(-x+1) \) ma non riesco a ricavare niente
Devi usare un qualche metodo approssimato per determinare la soluzione, analiticamente non è possibile.
ho capito, grazie mille per l'aiuto
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