Calcolo dell'area.

[rrr93]

Salve a tutti avrei bisogno di aiuto! Una tipica domanda da esame del mio professore è la richiesta di dedurre il calcolo effettivo di un' area dal Teorema di Green. Praticamente penso voglia sapere il perchè dal teorema di Green riesco a calcolare un area. Grazie a tutti quelli che mi aiuteranno!

[Dante.utopia]

Qual'è la formula di Green-Gauss nel piano?

[rrr93]

"Dante.utopia":Qual'è la formula di Green-Gauss nel piano?

Dipende dal tipo di dominio, se y-semplice $ \int_{a}^{b}{-P dx}$
se x-semplice $ \int_{a}^{b}{Q dy}$
se è semplice rispetto ad entrambi gli assi $\int_{a}^{b}{P dx + Qdy}$
In particolare questa domanda faceva parte di un esercizio che chiedeva di calcolare l area usando Gauss Green di
${x^2-y^2>=1 ; 1<=x<=4}$ che io ho risolto utilizzando la formula per il calcolo dell'area di Green che si ottiene dalla formula per x-semplice, però alla domanda che ho postato non riesco a dare una risposta... Se puoi aiutarmi te ne sarei grato.

[Dante.utopia]

Le espressioni che hai postato non mettono in relazione nulla, altre ad essere sbagliate.

[rrr93]

"Dante.utopia":Le espressioni che hai postato non mettono in relazione nulla, altre ad essere sbagliate.

Sia $F(x;y)=P(x,y)i+Q(x,y)j$ le formule di gauss green mettono in relazione un integrale di linea di seconda specie definito su una curva semplice chiusa, e l'integrale doppio esteso alla regione di piano D delimitata da tale curva. D dovrà essere regolare limitato e la sua frontiera dD orientata. Le formule sono:
$ \int\int_{D}^{}{Py dx dy}=- \int_{dD}^{}{Pdx}$
$ \int\int_{D}^{}{Qx dx dy}=\int_{dD}^{}{Qdy}$
$ \int\int_{D}^{}{Qx-Py dx dy}=\int_{dD}^{}{Pdx+ Qdy}$
So che ponendo nella prima P(x,y)=y, nella seconda Q(x,y)=x riesco a calcolare l'area racchiusa da dD, così come riesco a calcolarla semisommando le prima due ottenendo $1/2*\int_{dD}^{}{xdy-ydx}$ ora il mio problema è dedurre il calcolo delle aree dal teorema di Green.

[Dante.utopia]

Non capisco cosa stai cercando, hai già dedotto l'area di un dominio dalle formule di Green-Gauss.

[rrr93]

"Dante.utopia":Non capisco cosa stai cercando, hai già dedotto l'area di un dominio dalle formule di Green-Gauss.

Eh... è proprio questo il problema, non capisco nemmeno io la domanda e quale sia la risposta. La domanda del prof è: dedurre il calcolo effettivo dell'area dal teorema di Green. Non capisco ne cosa intende, e ne quale debba essere la risposta.

[Dante.utopia]

A me pare ovvio. La risposta è quella che hai dato, ossia ponendo Q=x etc etc. Non ci vedo nulla di sottinteso nella domanda.

[rrr93]

"Dante.utopia":A me pare ovvio. La risposta è quella che hai dato, ossia ponendo Q=x etc etc. Non ci vedo nulla di sottinteso nella domanda.

Io penso che voglia sapere il perchè ponendo Q=x ecc. riesco a calcolare l'area.

[Dante.utopia]

E non ti sembra ovvio?

Se $Q(x,y)=x$

$Q_x=(\partial Q)/(\partial x)=1$

\(\displaystyle \int_{\partial^+D} Q dy=\int_{\partial^+D} x dy=\iint_D Q_x dxdy= \iint_D dx dy \)

QED

[rrr93]

"Dante.utopia":E non ti sembra ovvio?

Se $Q(x,y)=x$

$Q_x=(\partial Q)/(\partial x)=1$

\(\displaystyle \int_{\partial^+D} Q dy=\int_{\partial^+D} x dy=\iint_D Q_x dxdy= \iint_D dx dy \)

QED

Ti ringrazio! non c'avevo pensato!

[rrr93]

"rrr93":[quote="Dante.utopia"]Qual'è la formula di Green-Gauss nel piano?

Dipende dal tipo di dominio, se y-semplice $ \int_{a}^{b}{-P dx}$
se x-semplice $ \int_{a}^{b}{Q dy}$
se è semplice rispetto ad entrambi gli assi $\int_{a}^{b}{P dx + Qdy}$
In particolare questa domanda faceva parte di un esercizio che chiedeva di calcolare l area usando Gauss Green di
${x^2-y^2>=1 ; 1<=x<=4}$ che io ho risolto utilizzando la formula per il calcolo dell'area di Green che si ottiene dalla formula per x-semplice, però alla domanda che ho postato non riesco a dare una risposta... Se puoi aiutarmi te ne sarei grato.[/quote]
Scusami se ti disturbo, ma secondo te questo dominio definito dall'iperbole sopra scritta, è x-semplice, y-semplice, o lo è rispetto entrambi gli assi?

[Dante.utopia]

Direi y-semplice, potrebbe essere agevole scrivere il dominio in coordinate iperboliche...