Calcolo della superficie di un solido

[ummo89]

Buonasera potete darmi una mano a capire come procedere con questo esercizio ?



Per calcolare la superficie di un grafico sopra D , utilizzo la formula :

In questo caso useri come dominio in coordinate polari :
$ 0 $0
ma non sono come scegliere bene la funzione . . .
Di solito come funzione uso $z=f(x,y)$ , ma il fatto che la z sia compresa tra due estremi mi crea problemi...

[ummo89]

verrebbe :
$3*rho/4 <=z<=9-rho$
in pratica è un cilindro delimitato da z .
Chi è la mia funzione ?

[ummo89]

Qualche consiglio ?

[Nico769]

Ciao,
Sono uno studente, ma ci provo lo stesso. Farei cosi:
$ \int_{-4}^{4} \int_{0}^{2pi} \int_{\frac{3}{4}p}^{9-p} dz d\theta d\rho $

[ummo89]

"Nico769":Ciao,
Sono uno studente, ma ci provo lo stesso. Farei cosi:
$ \int_{-4}^{4} \int_{0}^{2pi} \int_{\frac{3}{4}p}^{9-p} dz d\theta d\rho $

$rho$ si definisce sempre positivo quindi $0 Grazie comunque

[ummo89]

Comunque utilizzando la formula per la superficie totale di un cilindro :
$2*pi*r^2 + 2*pi*r*h$

e considerando il raggio $r=4$ e l'altezza $h=z$ con $(3*rho/4)
mi viene un altro risultato : $32*pi+4*pi$

[gugo82]

Ma perché incasinarsi la vita?

Il solido \(D\) ha per frontiera due superfici coniche circolari rette unite da un "nastro" cilindrico: infatti, il dominio \(D\) è ottenuto ruotando intorno all'asse \(z\) la seguente porzione (in arancio) del piano \(Oxz\):
[asvg]xmin=0; xmax=10; ymin=0; ymax=10;
axes("","");
fill="orange"; path([[0,0],[4,3],[4,5],[0,9],[0,0]]);
fill="none"; stroke="red"; strokewidth=2; path([[0,0],[4,3],[4,5],[0,9],[0,0]]);[/asvg]
quindi l'area della superficie \(\partial D\) si calcola con metodi elementari (da scuola media) o, al massimo, usando il teorema di Guldino.

[ummo89]

Grazie mille . . . proverò a risolverlo con Guldino