Calcolo della Serie Numerica
Buonasera,
sono uno studente di ingegneria meccanica magistrale. Mi trovo all'estero per l'erasmus, e dopo molti anni dall'esame di analisi mi ritrovo davanti la seguente serie:
$Z = 1+sum_{n=1}^{infty} (n^2+3n)*y^n$
1. Dovrei mostrare che la suddetta converge. Ho utilizzato il criterio di d'Alambert per il termine di sommatoria.
$lim_{n to infty} |(a_{n+1})/a_n|=|y|$
Dovrebbe convergere solo se $y < 1$
2. Calcolare il valore della serie
Qui non so proprio come comportarmi. Mi potreste guidare nei passaggi o mostrare come fare?
Vi ringrazio in anticipo,
Antonio
sono uno studente di ingegneria meccanica magistrale. Mi trovo all'estero per l'erasmus, e dopo molti anni dall'esame di analisi mi ritrovo davanti la seguente serie:
$Z = 1+sum_{n=1}^{infty} (n^2+3n)*y^n$
1. Dovrei mostrare che la suddetta converge. Ho utilizzato il criterio di d'Alambert per il termine di sommatoria.
$lim_{n to infty} |(a_{n+1})/a_n|=|y|$
Dovrebbe convergere solo se $y < 1$
2. Calcolare il valore della serie
Qui non so proprio come comportarmi. Mi potreste guidare nei passaggi o mostrare come fare?
Vi ringrazio in anticipo,
Antonio
Risposte
Ciao!
Attenzione, la condizione è $|y|<1$.
Per calcolare la somma, prova a sfruttare i teoremi di derivazione per serie.
"tacchero":
Dovrebbe convergere solo se $y < 1$
Attenzione, la condizione è $|y|<1$.
Per calcolare la somma, prova a sfruttare i teoremi di derivazione per serie.
"Mephlip":
Ciao!
[quote="tacchero"]Dovrebbe convergere solo se $y < 1$
Attenzione, la condizione è $|y|<1$.
Per calcolare la somma, prova a sfruttare i teoremi di derivazione per serie.[/quote]
Si, scusami l'errore. Ho scritto di fretta.
Allora, ho seguito il tuo consiglio, spezzando la serie in due parti:
$ sum_{n = 1}^{infty}(n^2+3n)*y^n = sum_{n = 1}^{infty}(n^2)*y^n + sum_{n = 1}^{infty}(3n)*y^n$
Ho ricondotto il secondo pezzo alla serie geometrica (+ Teorema di derivzione per serie di potenze)
$ sum_{n = 1}^{infty}3n*y^n=3 sum_{n = 1}^{infty}ny^n=3y sum_{n = 1}^{infty}ny^(n-1)=3y sum_{n = 1}^{infty}[y^n]'=3y[sum_{n = 1}^{infty}y^n]^{\prime}=3y[sum_{n = 0}^{infty}y^n]^{\prime} =3y[1/(1-y)]^{\prime}=(3y)/(1-y)^2$
Avreste qualche consiglio per il primo pezzo? Riconosco la serie geometrica ma non ho proprio idea di come far sparire quel fastidioso quadrato. Dei consigli di riscrittura? Sono una tabula rasa con Analisi
$sum_{n = 1}^{infty}n^2*y^n = ???$
Ciao tacchero,
Benvenuto sul forum!
Dai un'occhiata qui.
In generale, si può dimostrare una formula generale che consenta di calcolare la somma seguente:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} k^r x^k
\end{equation*}
ove $0 \le r \le n$. Il risultato per $r = 0$ è ricavabile facilmente, infatti si ha:
\begin{equation}
\boxed{x + x^{2} + \dots + x^{n - 1} + x^{n} = \sum_{k=1}^{n} x^k =
\begin{cases}
\dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x} & \text{se $x \ne 1$}\\
n & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\end{equation}
A questo punto si osservi che per $x \ne 1$ si ha:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} k\,x^k = \sum_{k=1}^{n} \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) \sum_{k=1}^{n} x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) \dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x}
\end{equation*}
Dato che [tex]kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k[/tex], è possibile iterare il procedimento di cui sopra:
\begin{align*}
k x^k & = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k\\
k^2 x^k & = k \cdot kx^k = k \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^2 x^k\\
k^3 x^k & = k \cdot k^{2} x^k = k \cdot \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{2} x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{2} kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{3} x^k\\
& \vdots\\
k^r x^k & = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} x^k
\end{align*}
Quindi per $x \ne 1$ si ha:
\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=1}^{n} k^r x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} \dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x}
\hskip 2.0cm 0 \le r \le n}
\end{equation}
Ora se $n \to +\infty $ e $|x| < 1 $ in definitiva si ha:
\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=1}^{+\infty} k^r x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} \dfrac{x}{1 - x} \hskip 2.0cm r \ge 0}
\end{equation}
Nel caso della serie proposta ti interessano i casi $r = 1 $ e $r = 2$.
Benvenuto sul forum!
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In generale, si può dimostrare una formula generale che consenta di calcolare la somma seguente:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} k^r x^k
\end{equation*}
ove $0 \le r \le n$. Il risultato per $r = 0$ è ricavabile facilmente, infatti si ha:
\begin{equation}
\boxed{x + x^{2} + \dots + x^{n - 1} + x^{n} = \sum_{k=1}^{n} x^k =
\begin{cases}
\dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x} & \text{se $x \ne 1$}\\
n & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\end{equation}
A questo punto si osservi che per $x \ne 1$ si ha:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} k\,x^k = \sum_{k=1}^{n} \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) \sum_{k=1}^{n} x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) \dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x}
\end{equation*}
Dato che [tex]kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k[/tex], è possibile iterare il procedimento di cui sopra:
\begin{align*}
k x^k & = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k\\
k^2 x^k & = k \cdot kx^k = k \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^2 x^k\\
k^3 x^k & = k \cdot k^{2} x^k = k \cdot \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{2} x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{2} kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{3} x^k\\
& \vdots\\
k^r x^k & = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} x^k
\end{align*}
Quindi per $x \ne 1$ si ha:
\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=1}^{n} k^r x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} \dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x}
\hskip 2.0cm 0 \le r \le n}
\end{equation}
Ora se $n \to +\infty $ e $|x| < 1 $ in definitiva si ha:
\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=1}^{+\infty} k^r x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} \dfrac{x}{1 - x} \hskip 2.0cm r \ge 0}
\end{equation}
Nel caso della serie proposta ti interessano i casi $r = 1 $ e $r = 2$.
@ pilloeffe: Questa:
ed il trucco che ne consegue sono molto simpatici e non li avevo mai formalizzati prima (anche se li ho usati diverse decine di volte, probabilmente).
Grazie.
\( \displaystyle kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k \)
ed il trucco che ne consegue sono molto simpatici e non li avevo mai formalizzati prima (anche se li ho usati diverse decine di volte, probabilmente).
Grazie.
"pilloeffe":
Ciao tacchero,
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In generale, si può dimostrare una formula generale che consenta di calcolare la somma seguente:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} k^r x^k
\end{equation*}
ove $0 \le r \le n$. Il risultato per $r = 0$ è ricavabile facilmente, infatti si ha:
\begin{equation}
\boxed{x + x^{2} + \dots + x^{n - 1} + x^{n} = \sum_{k=1}^{n} x^k =
\begin{cases}
\dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x} & \text{se $x \ne 1$}\\
n & \text{se $x = 1$}
\end{cases}}
\end{equation}
A questo punto si osservi che per $x \ne 1$ si ha:
\begin{equation*}
\sum_{k=1}^{n} k\,x^k = \sum_{k=1}^{n} \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) \sum_{k=1}^{n} x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) \dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x}
\end{equation*}
Dato che [tex]kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k[/tex], è possibile iterare il procedimento di cui sopra:
\begin{align*}
k x^k & = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k\\
k^2 x^k & = k \cdot kx^k = k \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg) kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^2 x^k\\
k^3 x^k & = k \cdot k^{2} x^k = k \cdot \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{2} x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{2} kx^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{3} x^k\\
& \vdots\\
k^r x^k & = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} x^k
\end{align*}
Quindi per $x \ne 1$ si ha:
\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=1}^{n} k^r x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} \dfrac{x - x^{n + 1}}{1 - x}
\hskip 2.0cm 0 \le r \le n}
\end{equation}
Ora se $n \to +\infty $ e $|x| < 1 $ in definitiva si ha:
\begin{equation}
\boxed{\sum_{k=1}^{+\infty} k^r x^k = \bigg(x\,\dfrac{d}{dx} \bigg)^{r} \dfrac{x}{1 - x} \hskip 2.0cm r \ge 0}
\end{equation}
Nel caso della serie proposta ti interessano i casi $r = 1 $ e $r = 2$.
pilloeffe, grazie mille per la risposta. quando sto svolgendo l'esercizio mi era passato di mente che l'operazione si potesse iterare ma un certo punto mi sono bloccato sul foglio. Ti ringrazio di cuore per la risposta.
Antonio.
"gugo82":
Grazie.
Ma prego, figurati...
Se ti avessi ringraziato per tutte le volte che ho imparato qualcosa semplicemente leggendo i tuoi post...
Con tutto che non sono esattamente di primo pelo ed un po' di Analisi matematica la conosco...
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