Calcolo della parte principale, il ritorno

[Obidream]

Salve a tutti, riprendo con il calcolo della parte principale partendo da esercizi semplici.

$f(x)= e^((3x^3)/(5x^3+2))-1$, rispetto all'infinitesimo campione $u(x)=x$, per $x->0$

Riscrivo $f(x)$ come:

$f(x)= e^((3x^3/2)*1/(1+(5/2)x^3))-1$

Ora passo agli sviluppi ed ottengo:

$f(x)=exp((3/2x^3)*(1-5/2x^3+o(x^3))-1$

Sviluppo l'esponenziale ed ottengo:

$f(x)=3/2x^3+o(x^3)$

Quindi la p.p è $3/2x^3$ e l'ordine di infinitesimo è $3$

Tutto corretto?

[Sk_Anonymous]

Corretto:

$[(3x^3)/(5x^3+2)=(3/2x^3)/(1+5/2x^3)=3/2x^3(1-5/2x^3+o(x^3))=3/2x^3+o(x^3)]$

$[e^((3x^3)/(5x^3+2))-1=e^(3/2x^3+o(x^3))-1=1+3/2x^3+o(x^3)-1=3/2x^3+o(x^3)]$

Ho solo fatto i conti con più ordine.

[Obidream]

"speculor":Corretto:

$[(3x^3)/(5x^3+2)=(3/2x^3)/(1+5/2x^3)=3/2x^3(1-5/2x^3+o(x^3))=3/2x^3+o(x^3)]$

$[e^((3x^3)/(5x^3+2))-1=e^(3/2x^3+o(x^3))-1=1+3/2x^3+o(x^3)-1=3/2x^3+o(x^3)]$

Grazie, io come al solito uso i miei metodi scemi che portano calcoli inutili

[Obidream]

Nuovo esercizio:

$f(x)=1/(log(root(3)(x^2+8))-log(2))$
Parte principale per $x->0$ rispetto all'infinitesimo campione $u(x)=x$

Prendo solo il denominatore per ora:

$log((2root(3)(1+x^2/8))/2)$

$log(root(3)(1+x^2/8))$

$1/3log(1+x^2/8)$

Se applico lo sviluppo:

$x^2/24+o(x^2)$

Quindi:

$f(x)=1/(x^2/24+o(x^2))$

$f(x)=1*(24/x^2+o(1/x^2))$

quindi la p.p è $24/x^2$ e l'ordine di infinitesimo $2$

Questo è ok?

[Sk_Anonymous]

Intanto, $[f(x)=1/(log(root(3)(x^2+8))-log(2))]$ è un infinito per $[x->0]$.

[Obidream]

"speculor":Intanto, $[f(x)=1/(log(root(3)(x^2+8))-log(2))]$ è un infinito per $[x->0]$.

Si, non ci avevo fatto caso in effetti.. Quindi la risposta completa sarebbe $f$ è un infinito di ordine $2$ per $x->0$ rispetto all'infinitesimo campione $u(x)=x$ ed ha p.p $24/x^2$?

[Sk_Anonymous]

Non ho ancora controllato i conti, ma al limite avrai un infinito campione $[u(x)=1/x]$ per $[x->0]$. Stai facendo un po' di confusione. In ogni modo, l'ultimo passaggio lascia a desiderare. Meglio così:

$1/3log(x^2+8)-log2=1/3log[8(1+x^2/8)]-log2=1/3log8+1/3log(1+x^2/8)-log2=$

$=1/3log(1+x^2/8)=x^2/24+o(x^2)$

$1/(1/3log(x^2+8)-log2)=1/(x^2/24+o(x^2))=(24/x^2)/(1+o(1))=24/x^2(1+o(1))=24/x^2+o(1/x^2)$