Calcolo della differenziabilità di una funzione di due variabili reali
Testo :
$ f(x,y) = (1-e^(x^2+y^2 ))/(√(x^2+y^2 )) $ , Studia la differenziabilità di questa funzione posta uguale a 0 in (0;0) .
Mio Svolgimento:
a) Calcolo il Dominio Della Funzione :
$ D = R^2 - { (0,0) } $
b)Nei punti del dominio posso sfruttare il teorema del differenziale totale : se esistono continue le derivate della funzione => è differenziabile nei punti del dominio.
$ f_x (x,y) e f _y(x,y) $ esistono e sono continue in $ D $ => La funzione è sicuramente differenziabile in tutti i punti del dominio e dunque resta in dubbio solo il punto (0,0).
c)Per verificare se f(x,y) è differenziabile anche in (0,0) dobbiamo per forza usare la definizione di differenziabilità
f(x,y) è differenziabile in (0,0) <=>
$ lim_((h,k)->(0;0)) (( f(0+h,0+k) - f(0,0)-f_x(0,0) * h-f_y(0,0)*k ) )/(sqrt(h^2+k^2)) = 0 $
• $ f(h,k) = (1 - e^(h^2 + k^2))/(√(h^2 + k^2) ) $
•$ f(0,0) = 0 $ , secondo quanto imposto dall' esercizio stesso
• $ f_x(0,0) = lim_(h->0) ( f(h,0)-f(0,0) )/(h) = lim_(h->0) ( (1 - e^(h^2))/h^2 ) = -1 $
• $ f_y(0,0) = lim_(k->0) ( f(0,k)-f(0,0) )/(k) = lim_(k->0) ( (1 - e^(k^2))/k^2 ) = -1 $
sostituendo
$ lim_((h,k) ->(0;0)) ((1 - e^(h^2 + k^2))/(√(h^2 + k^2)) - 0 - (-1)*h- (-1)*k)/(sqrt(h^2+k^2) ) $
$ lim_((h,k) ->(0;0)) (1 - e^(h^2+k^2))/(h^2 + k^2) + lim_((h,k) ->(0;0)) (h)/(sqrt(h^2+k^2)) + lim_((h,k) ->(0;0)) (k)/(sqrt(h^2+k^2)) $ =
A questo punto come posso procedere? Grazie in Anticipo
$ f(x,y) = (1-e^(x^2+y^2 ))/(√(x^2+y^2 )) $ , Studia la differenziabilità di questa funzione posta uguale a 0 in (0;0) .
Mio Svolgimento:
a) Calcolo il Dominio Della Funzione :
$ D = R^2 - { (0,0) } $
b)Nei punti del dominio posso sfruttare il teorema del differenziale totale : se esistono continue le derivate della funzione => è differenziabile nei punti del dominio.
$ f_x (x,y) e f _y(x,y) $ esistono e sono continue in $ D $ => La funzione è sicuramente differenziabile in tutti i punti del dominio e dunque resta in dubbio solo il punto (0,0).
c)Per verificare se f(x,y) è differenziabile anche in (0,0) dobbiamo per forza usare la definizione di differenziabilità
f(x,y) è differenziabile in (0,0) <=>
$ lim_((h,k)->(0;0)) (( f(0+h,0+k) - f(0,0)-f_x(0,0) * h-f_y(0,0)*k ) )/(sqrt(h^2+k^2)) = 0 $
• $ f(h,k) = (1 - e^(h^2 + k^2))/(√(h^2 + k^2) ) $
•$ f(0,0) = 0 $ , secondo quanto imposto dall' esercizio stesso
• $ f_x(0,0) = lim_(h->0) ( f(h,0)-f(0,0) )/(h) = lim_(h->0) ( (1 - e^(h^2))/h^2 ) = -1 $
• $ f_y(0,0) = lim_(k->0) ( f(0,k)-f(0,0) )/(k) = lim_(k->0) ( (1 - e^(k^2))/k^2 ) = -1 $
sostituendo
$ lim_((h,k) ->(0;0)) ((1 - e^(h^2 + k^2))/(√(h^2 + k^2)) - 0 - (-1)*h- (-1)*k)/(sqrt(h^2+k^2) ) $
$ lim_((h,k) ->(0;0)) (1 - e^(h^2+k^2))/(h^2 + k^2) + lim_((h,k) ->(0;0)) (h)/(sqrt(h^2+k^2)) + lim_((h,k) ->(0;0)) (k)/(sqrt(h^2+k^2)) $ =
A questo punto come posso procedere? Grazie in Anticipo
Risposte
Ciao, credo che quel limite non esista e non valga quindi $ -1 $, comunque il procedimento mi sembra corretto.
"Trivroach":
Ciao, credo che quel limite non esista e non valga quindi $ -1 $, comunque il procedimento mi sembra corretto.
Si grazie , infatti ora ho rimaneggiato un attimo i calcoli ... come potrei concludere?
Se il limite non esiste o comunque non vale $ 0 $ , $ f(x,y) $ non è differenziabile in $ (0,0) $ .
"Trivroach":
Se il limite non esiste o comunque non vale $ 0 $ , $ f(x,y) $ non è differenziabile in $ (0,0) $ .
Perfetto, grazie mille
rapidissimo 
Quindi è tutto corretto il modo con cui ho svolto l'esercizio? La differenziabilità pensavo fosse semplice ma in alcuni esercizi è davvero insidiosa
Si, ad ogni modo in questo tipo di esercizi a volte si trova anche che la funzione non è continua in $ (0,0) $ e quindi non è ivi differenziabile. Un esercizio completo in genere può chiedere:
-discutere la continuità;
-discutere l'esistenza delle derivate parziali prime e eventualmente calcolarle;
-discutere la differenziabilità;
-calcolare la derivata direzionale in una certa direzione $ vec(v) $ .
-discutere la continuità;
-discutere l'esistenza delle derivate parziali prime e eventualmente calcolarle;
-discutere la differenziabilità;
-calcolare la derivata direzionale in una certa direzione $ vec(v) $ .
"Trivroach":
Si, ad ogni modo in questo tipo di esercizi a volte si trova anche che la funzione non è continua in $ (0,0) $ e quindi non è ivi differenziabile. Un esercizio completo in genere può chiedere:
-discutere la continuità;
-discutere l'esistenza delle derivate parziali prime e eventualmente calcolarle;
-discutere la differenziabilità;
-calcolare la derivata direzionale in una certa direzione $ vec(v) $ .
Grazie , sei davvero gentile .
Ma quindi sarebbe stato meglio se tra il punto "b" e "c" avessi prima calcolato se la funzione era anche continua in (0,0) e poi fossi passato alla definizione di di differenziabilità col calcolo del limitone?
Dipende, se ti rendi conto che il "limitone" è una brutta gatta da pelare, conviene andare a controllare prima la continuità in modo da poter concludere l'esercizio se la funzione non dovesse essere continua. In questo caso però non era difficile.
"Trivroach":
Dipende, se ti rendi conto che il "limitone" è una brutta gatta da pelare, conviene andare a controllare prima la continuità in modo da poter concludere l'esercizio se la funzione non dovesse essere continua. In questo caso però non era difficile.
Capito! Sei stato utilissimo , grazie e alla prossima
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