Calcolo della derivata seconda
Salve a tutti,
spero di non sbagliare nulla, ma è la prima volta che scrivo qui! Siate clementi!
Allora, vado a spiegarvi il mio problemino: devo svolgere uno studio di funzione in cui è richiesta anche la derivata seconda. Fino al momento del calcolo della derivata prima, tutto bene (si fa per dire! Ma almeno riesco a svolgere il "grosso del lavoro"!). Nel momento di calcolare la derivata seconda, il panico! In linea generale, so cosa dovrei fare, ma non riesco a metterlo in pratica.
La funzione è la seguente: $ (e^x)/(x+1) $
Il risultato della derivata prima da me calcolata è: $ (e^x*x)/(x+1)^2 $
Spero di aver scritto in modo corretto le formule fino ad ora...
Bene, adesso nasce il mio problema. In particolare, credo di sbagliare nel calcolare la derivata di $ e^x*x $
Infatti, io la derivata seconda la calcolo come: $ ((e^x)*(x+1)^2 - (e^x*x)*2*(x+1))/(x+1)^4 $
Potreste dirmi se sbaglio (cosa di cui sono sicura...), dove sbaglio? E qual è, quindi, il giusto svolgimento? S'è possibile..
Vi ringrazio,
Noemi
spero di non sbagliare nulla, ma è la prima volta che scrivo qui! Siate clementi!
Allora, vado a spiegarvi il mio problemino: devo svolgere uno studio di funzione in cui è richiesta anche la derivata seconda. Fino al momento del calcolo della derivata prima, tutto bene (si fa per dire! Ma almeno riesco a svolgere il "grosso del lavoro"!). Nel momento di calcolare la derivata seconda, il panico! In linea generale, so cosa dovrei fare, ma non riesco a metterlo in pratica.
La funzione è la seguente: $ (e^x)/(x+1) $
Il risultato della derivata prima da me calcolata è: $ (e^x*x)/(x+1)^2 $
Spero di aver scritto in modo corretto le formule fino ad ora...
Bene, adesso nasce il mio problema. In particolare, credo di sbagliare nel calcolare la derivata di $ e^x*x $
Infatti, io la derivata seconda la calcolo come: $ ((e^x)*(x+1)^2 - (e^x*x)*2*(x+1))/(x+1)^4 $
Potreste dirmi se sbaglio (cosa di cui sono sicura...), dove sbaglio? E qual è, quindi, il giusto svolgimento? S'è possibile..
Vi ringrazio,
Noemi
Risposte
Ciao Noemi 
Allora la derivata prima è esatta , deriviamo passo passo la seconda , cosi potrai confrontarla con i tuoi calcoli
$\frac{d f'(x)}{dx}=[\frac{d}{dx}(xe^x)]\frac{1}{(x+1)^2}+xe^x[\frac{d}{dx}(\frac{1}{(x+1)^2})]$ calcoliamo queste derivate :
$\frac{d}{dx}(xe^x)=xe^x+e^x$ mentre $\frac{d}{dx}(\frac{1}{(x+1)^2})=-\frac{2}{(x+1)^3}$
Sostituendo abbiamo :
$\frac{d f'(x)}{dx}=\frac{xe^x+e^x}{(x+1)^2}-\frac{2xe^x}{(x+1)}^3=\frac{e^x(x^2 +1)}{(x+1)^3}$
Se ci sono dubbi chiedi
Allora la derivata prima è esatta , deriviamo passo passo la seconda , cosi potrai confrontarla con i tuoi calcoli
$\frac{d f'(x)}{dx}=[\frac{d}{dx}(xe^x)]\frac{1}{(x+1)^2}+xe^x[\frac{d}{dx}(\frac{1}{(x+1)^2})]$ calcoliamo queste derivate :
$\frac{d}{dx}(xe^x)=xe^x+e^x$ mentre $\frac{d}{dx}(\frac{1}{(x+1)^2})=-\frac{2}{(x+1)^3}$
Sostituendo abbiamo :
$\frac{d f'(x)}{dx}=\frac{xe^x+e^x}{(x+1)^2}-\frac{2xe^x}{(x+1)}^3=\frac{e^x(x^2 +1)}{(x+1)^3}$
Se ci sono dubbi chiedi
Quindi non devo utilizzare la formula $ D[f(x)/g(x)]=(f'(x)g(x)-g'(x)f(x))/[g(x)]^2 $ anche per la derivata seconda? Ho capito bene?
Il mio errore era questo allora...(?)
In pratica, il ragionamento che facevo io era: $ ((e^x+e^x*x)*(x+1)^2-e^x*x[2+(x+1)])/(x+1)^4 $
E poi svolgevo tutti i calcoli, fino alla fine (qui li salto per evitare di fare confusione!)
Ragionavo male, giusto?
Il mio errore era questo allora...(?)
In pratica, il ragionamento che facevo io era: $ ((e^x+e^x*x)*(x+1)^2-e^x*x[2+(x+1)])/(x+1)^4 $
E poi svolgevo tutti i calcoli, fino alla fine (qui li salto per evitare di fare confusione!)
Ragionavo male, giusto?
Puoi usare anche quella formula , non è errata!
Posta tutti i calcoli,secondo il tuo ragionamento,non saltare nulla,con calma sistemiamo tutto ed eliminiamo i tuoi dubbi
Posta tutti i calcoli,secondo il tuo ragionamento,non saltare nulla,con calma sistemiamo tutto ed eliminiamo i tuoi dubbi
Allora, io svolgo così:
$ {(e^x+xe^x)*(x+1)^2-xe^x*[2*(x+1)]}/(x+1)^4 $
$ [e^x*(x^3+2x^2+x+x^2+2x+1)-2x^2e^x-2xe^x]/(x+1)^4 $
$ [e^x*(x+1)*(x^2+2x+1)-xe^x*(2x+2)]/(x+1)^4 $
$ [e^x*(x^3+3x^2+3x+1)-2x^2e^x-2xe^x]/(x+1)^4 $
$ (x^3e^x+3x^2e^x+3xe^x+e^x-2x^2e^x-2xe^x)/(x+1)^4 $
$ (e^x*(x^3+x^2+x+1))/(x+1)^4 $
Spero non di non aver saltato nulla!
Ho controllato più volte e dovrebbe essere "giusto"!
$ {(e^x+xe^x)*(x+1)^2-xe^x*[2*(x+1)]}/(x+1)^4 $
$ [e^x*(x^3+2x^2+x+x^2+2x+1)-2x^2e^x-2xe^x]/(x+1)^4 $
$ [e^x*(x+1)*(x^2+2x+1)-xe^x*(2x+2)]/(x+1)^4 $
$ [e^x*(x^3+3x^2+3x+1)-2x^2e^x-2xe^x]/(x+1)^4 $
$ (x^3e^x+3x^2e^x+3xe^x+e^x-2x^2e^x-2xe^x)/(x+1)^4 $
$ (e^x*(x^3+x^2+x+1))/(x+1)^4 $
Spero non di non aver saltato nulla!
Ho controllato più volte e dovrebbe essere "giusto"!
E' giusto , l'unico "problema" sta nel fatto che svolgi i quadrati e i cubi , cosi facendo non potrai mettere in evidenza e "semplificare" piu nulla , e tale procedimento applicato per esempio nello svolgimento degli studi di funzione porta all'errore certo!
Dopo il secondo rigo , prova a non sviluppare nulla ma metti in evidenza e "semplifica" e vedrai che arrivi al mio risulatato.
Metto semplifica tra le " " perche come sai non è un operazione
Dopo il secondo rigo , prova a non sviluppare nulla ma metti in evidenza e "semplifica" e vedrai che arrivi al mio risulatato.
Metto semplifica tra le " " perche come sai non è un operazione
Farò come mi hai suggerito! Grazie mille per l'aiuto! 
Se riscontri dubbi scrivilo .
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