Calcolo della derivata di ordine n
Salve a tutti, avrei delle incertezze sul seguente esercizio: calcolare la derivata di ordine 1000 di $f(x)=sin^2(x)$ in $x=0$. L'esercizio è privo di soluzione e procedimento.
Nella fattispecie ecco la mia soluzione: considero $sin^2(x)=1/2-1/2(cos2x)$. Ho quindi derivato 9 volte l'ultima espressione e in ciascuna derivata ho sostituito x=0. Giungo quindi ad osservare che $f^n(0)=2^(n-1)$ solo per n pari (mentre per n dispari la derivata è nulla) e che $f^(4n)(0)$ per n maggiore di o uguale a 1 è un numero intero negativo. Essendo 1000 pari e multiplo di 4 essendo $1000/4=250$, giungo ad affermare che $f^1000(0)=-2^999$.
Da notare che l'esercizio era preceduto dalla serie di Taylor di $sin^2(x)$.
Il mio è un modo un po' goffo per risolvere un esercizio e per niente elegante, lo ammetto, ma modus operandi e risultato sono corretti? In ogni caso, voi come lo avreste risolto?
Chiedo scusa ma poco fa mi sono confuso con la simbologia. Ora ho corretto.
Nella fattispecie ecco la mia soluzione: considero $sin^2(x)=1/2-1/2(cos2x)$. Ho quindi derivato 9 volte l'ultima espressione e in ciascuna derivata ho sostituito x=0. Giungo quindi ad osservare che $f^n(0)=2^(n-1)$ solo per n pari (mentre per n dispari la derivata è nulla) e che $f^(4n)(0)$ per n maggiore di o uguale a 1 è un numero intero negativo. Essendo 1000 pari e multiplo di 4 essendo $1000/4=250$, giungo ad affermare che $f^1000(0)=-2^999$.
Da notare che l'esercizio era preceduto dalla serie di Taylor di $sin^2(x)$.
Il mio è un modo un po' goffo per risolvere un esercizio e per niente elegante, lo ammetto, ma modus operandi e risultato sono corretti? In ogni caso, voi come lo avreste risolto?
Chiedo scusa ma poco fa mi sono confuso con la simbologia. Ora ho corretto.
Risposte
e' intelligente aver scritto $\sin^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x)$, ma da qui basta che appunto scrivi la serie di Maclaurin e sei a posto... guardi in faccia il millesimo addendo o chi per esso
Quindi scrivo la serie di Mac Laurin della funzione, ovvero $f(x)=sin^(2)x=sum [(-1)^(k+1)2^(2k-1)x^(2k)] / [(2k)!]$ (somma da k=1 a infinito, purtroppo non trovo i caratteri e vado di fretta), considero il coefficiente del termine con k=1000 e essenzialmente derivo 1000 volte, ottenendo come derivata della funzione in 0 $f^1000(0)=-[(1000)! 2^1999]/(2000!)$?
si, non ho controllato il conto ma il principio e' questo.
La ringrazio di cuore, signor Luca. Ora nutro più speranza per l'imminente appello di Analisi 2 (per Chimici Industriali del NO).
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