Calcolo della cardinalità di un insieme
Ciao a tutti.
Sono alle prese con Analisi 1 a Fisica e con gli esercizi sulla determinazione della cardinalità di un insieme.
Premetto che non posso seguire corsi ed esercitazioni e quindi devo arrangiarmi con quanto trovo in rete.
La mia difficoltà sta nell'approcciare esercizi di questo tipo:
qual'è la cardinalità di $EsubeRR^2$
$E={(1/sqrt(n+1), 1/sqrt(m+3)) n,m in NN}$
oppure
qual'è la cardinalità di $EsubeRR$
$E={x in RR : x= 10^(n^2) n in NN}$
Gli strumenti a mia disposizione sono le definizioni di potenza del numerabile e del continuo, il teorema di Cantor e i seguenti teoremi sul numerabile:
1. Sia $A$ un insieme numerabile e $BsubeA$ un insieme infinito. Allora B è numerabile.
2. Sia $A1, A2, ...An,...$ una successione di insiemi ciascuno dei quali è numerabile. Allora anche l'unione
$A=uuu_{n=1} A_n$ è numerabile.
Il fatto è che non ho mai visto risoluzioni di tali esercizi e quindi non so nemmeno come partire per provare a risolverli.
Anche l'applicazione dei teoremi che ho riportato mi è abbastanza oscura.
Qualcuno ha idea di come fare?
Grazie.
Sono alle prese con Analisi 1 a Fisica e con gli esercizi sulla determinazione della cardinalità di un insieme.
Premetto che non posso seguire corsi ed esercitazioni e quindi devo arrangiarmi con quanto trovo in rete.
La mia difficoltà sta nell'approcciare esercizi di questo tipo:
qual'è la cardinalità di $EsubeRR^2$
$E={(1/sqrt(n+1), 1/sqrt(m+3)) n,m in NN}$
oppure
qual'è la cardinalità di $EsubeRR$
$E={x in RR : x= 10^(n^2) n in NN}$
Gli strumenti a mia disposizione sono le definizioni di potenza del numerabile e del continuo, il teorema di Cantor e i seguenti teoremi sul numerabile:
1. Sia $A$ un insieme numerabile e $BsubeA$ un insieme infinito. Allora B è numerabile.
2. Sia $A1, A2, ...An,...$ una successione di insiemi ciascuno dei quali è numerabile. Allora anche l'unione
$A=uuu_{n=1} A_n$ è numerabile.
Il fatto è che non ho mai visto risoluzioni di tali esercizi e quindi non so nemmeno come partire per provare a risolverli.
Anche l'applicazione dei teoremi che ho riportato mi è abbastanza oscura.
Qualcuno ha idea di come fare?
Grazie.
Risposte
Nessuno riesce a darmi almeno una indicazione sul come affrontare questi esercizi?
Grazie ancora.
Grazie ancora.
\((n,m)\mapsto \left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}, \frac{1}{\sqrt{m+1}}\right)\) è una funzione iniettiva da $NN^2$ a $RR^2$, quindi la sua immagine ha la stessa cardinalità di $NN^2$, e la cardinalità di quest'ultimo è $\aleph_0$.
Idem per la funzione $NN\to NN : n\mapsto 10^{n^2}$.
Idem per la funzione $NN\to NN : n\mapsto 10^{n^2}$.
Grazie killing_buddha!
Quindi come primo passo dovrei verificare l'iniettività della funzione sfruttando il fatto che, in caso di funzione iniettiva, la cardinalità dell'insieme coincide con quella del dominio della funzione.
Ho capito bene?
Quindi come primo passo dovrei verificare l'iniettività della funzione sfruttando il fatto che, in caso di funzione iniettiva, la cardinalità dell'insieme coincide con quella del dominio della funzione.
Ho capito bene?
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