Calcolo dell' area con gli integrali
Il problema è che non ho capito il perché della soluzione di questo problema:
Si determini l'area della regione compresa tra i grafici delle funzioni $f(x)=sinx$ e $g(x)=cosx$ nell'intervallo $(-pi/2,pi/2)$ ; ovvero l'area di $A={(x,y) in RR^2:-pi/2<=x<=pi/2; min(f(x),g(x))<=y<=max(f(x),g(x))}$
La soluzione è $2sqrt2$ ma non penso di aver proprio capito il perché
, mi spiego:
Prima ho calcolato l'area nel primo quadrante facendo:
$\int_0^(pi/4)cosx dx-int_0^(pi/4)sin x dx=sqrt2-1$
e
$\int_0^(pi/4)sinx dx= -sqrt2/2+1$
a questo punto mi è bastato moltiplicare tutto per due poichè ciò si ripete anche nell'intervallo tra $pi/4$ e $pi/2$
ottenendo quindi $sqrt2$ che riassumendo è l'area totale tra $0$ e $pi/2$
Da qui il fatto che sapendo la soluzione è $2sqrt2$ basta moltiplicare l'area appena trovata per due... ma non capisco perché dato che il grafico nel primo quadrante è diverso da quello tra $-pi/2$ e $0$ perché il coseno è positivo ma il seno è negativo e non formano quella specie di x come avviene tra $0$ e $pi/2$](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Cioè io avrei detto quindi che la soluzione fosse (tra $-pi/2$ e $0$) uguale a due dato che l'area del coseno è 1 così come quella del seno...
Mi potreste per favore spiegare cosa c'è che non ho capito riguardo al calcolo delle aree?
Si determini l'area della regione compresa tra i grafici delle funzioni $f(x)=sinx$ e $g(x)=cosx$ nell'intervallo $(-pi/2,pi/2)$ ; ovvero l'area di $A={(x,y) in RR^2:-pi/2<=x<=pi/2; min(f(x),g(x))<=y<=max(f(x),g(x))}$
La soluzione è $2sqrt2$ ma non penso di aver proprio capito il perché
, mi spiego:Prima ho calcolato l'area nel primo quadrante facendo:
$\int_0^(pi/4)cosx dx-int_0^(pi/4)sin x dx=sqrt2-1$
e
$\int_0^(pi/4)sinx dx= -sqrt2/2+1$
a questo punto mi è bastato moltiplicare tutto per due poichè ciò si ripete anche nell'intervallo tra $pi/4$ e $pi/2$
ottenendo quindi $sqrt2$ che riassumendo è l'area totale tra $0$ e $pi/2$
Da qui il fatto che sapendo la soluzione è $2sqrt2$ basta moltiplicare l'area appena trovata per due... ma non capisco perché dato che il grafico nel primo quadrante è diverso da quello tra $-pi/2$ e $0$ perché il coseno è positivo ma il seno è negativo e non formano quella specie di x come avviene tra $0$ e $pi/2$
Cioè io avrei detto quindi che la soluzione fosse (tra $-pi/2$ e $0$) uguale a due dato che l'area del coseno è 1 così come quella del seno...
Mi potreste per favore spiegare cosa c'è che non ho capito riguardo al calcolo delle aree?
Risposte
Ad occhio e croce mi sa che non hai ben individuato il dominio. Partendo da $-\frac{\pi}{2}$ andando verso $\frac{\pi}{2}$ per ogni punto devi selezionare l'area tra la funzione più grande e quella più piccola. Così facendo dovresti trovarti nell'intervallo $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{4}]$ l'area compresa tra il coseno ed il seno e nel rimanente intervallo viceversa (con un disegno sarebbe più chiaro). Detto ciò l'area la calcoli come somma di questi due integrali:
$\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}dx\int_{cosx}^{sinx}dy=-[cosx+senx]_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}=\sqrt{2}-1$
$\int_-\frac{\pi}{2}^\frac{\pi}{4}dx\int_{sinx}^{cosx}dy=[cosx+senx]_-\frac{\pi}{2}^\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}+1$
$\int_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}dx\int_{cosx}^{sinx}dy=-[cosx+senx]_\frac{\pi}{4}^\frac{\pi}{2}=\sqrt{2}-1$
$\int_-\frac{\pi}{2}^\frac{\pi}{4}dx\int_{sinx}^{cosx}dy=[cosx+senx]_-\frac{\pi}{2}^\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}+1$
Perfetto! Anche andando a occhio e croce hai capito bene cosa avevo sbagliato! Grazie K.Lomax!
Sei riuscito a farmi capire anche senza il disegno!
Sto facendo altri esercizi e la tua spiegazione mi è molto d'aiuto!
Grazie ancora!
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Sto facendo altri esercizi e la tua spiegazione mi è molto d'aiuto!
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