Calcolo del Volume
Per esercitarmi ai tfa mi potreste aiutare a risovere questo problema?
Volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse y della regione racchiusa tra la curva y=senx e l'asse x da X=0 a x=pigreco. La risposta è 2 pigreco al quadrato. Ma come si fa? Grazie
Volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse y della regione racchiusa tra la curva y=senx e l'asse x da X=0 a x=pigreco. La risposta è 2 pigreco al quadrato. Ma come si fa? Grazie
Risposte
L'ho fatto l'altro giorno... 
Beh, una volta notato che il solido è simmetrico rispetto agli iperpiani \(Oxy\) ed \(Ozy\), si ha:
\[
\operatorname{Vol} (E) =4\ \iint_C \sin \sqrt{x^2+z^2}\ \text{d}x\text{d}z\; ,
\]
dove \(C:=\{(x,z): x\geq 0,\ z\geq 0,\ x^2+z^2\leq \pi^2\}\); per terminare basta passare in polari nel piano \(Oxz\).
Beh, una volta notato che il solido è simmetrico rispetto agli iperpiani \(Oxy\) ed \(Ozy\), si ha:
\[
\operatorname{Vol} (E) =4\ \iint_C \sin \sqrt{x^2+z^2}\ \text{d}x\text{d}z\; ,
\]
dove \(C:=\{(x,z): x\geq 0,\ z\geq 0,\ x^2+z^2\leq \pi^2\}\); per terminare basta passare in polari nel piano \(Oxz\).
Non esiste un a risposta più semplice?
A occhio direi di no.
C'erano altri quesiti in cui la risposta era più semplice (tipo il triangolo inscritto nel cubo, o la distanza tra i punti di tangenza delle palle...) ma qui si tratta di calcolo... Alla fine un integrale di \(\rho \sin \rho\) si tratta, eh!
C'erano altri quesiti in cui la risposta era più semplice (tipo il triangolo inscritto nel cubo, o la distanza tra i punti di tangenza delle palle...) ma qui si tratta di calcolo... Alla fine un integrale di \(\rho \sin \rho\) si tratta, eh!
Ciao. Si può usare il secondo teorema di Guldino.
"filos":
Per esercitarmi ai tfa mi potreste aiutare a risovere questo problema?
Volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse y della regione racchiusa tra la curva y=senx e l'asse x da X=0 a x=pigreco. La risposta è 2 pigreco al quadrato. Ma come si fa? Grazie
Beh,per il volume della rotazione attorno all'asse delle ordinate d'un trapezoide c'è la formula "standard" $V=2piint_a^bxf(x)dx$
(che diventa $V=piint_a^bf^2(x)dx$ se la rotazione avviene intorno a quella delle ascisse,
note entrambe come teoremi di Guldino..):
sia il mio Prof di Analisi II che la dottoranda,ottima,che teneva le esercitazioni,
la dimostrarono generalizzando il ragionamento di Gugo,
dicendoci però con fare sardonico d'usare il "prodotto finito" nel caso si trattassero questi argomenti a Scola Media Superiore
(ipotesi probabilissima,all'inizio della seconda metà degli anni '90..)
e rimandando ad eventuali corsi Sisss una sua verifica(in fondo equivalente)con mezzi più "elementari"..
@Gugo
In bocca al lupo:
anche quell'istituzione in declino che è la Scuola Media Superiore,sebbene non lo meriti granchè,potrebbe tornare a crescere,
con la presenza d'insegnanti in gamba come te che,avendo davvero dentro Amore per la Didattica ed il suo ruolo formativo,
non dovrebbero andare incontro al comunissimo fenomeno d'esplosione e scarsa produttività dopo cinque anni d'insegnamento.
@theras: ciao! Il mio riferimento a Guldino si giustifica col fatto che la regione che ruota è simmetrica rispetto alla retta $x=pi/2$, dunque il raggio della circonferenza descritta dal baricentro della regione medesima è ovvio; quindi l'unico calcolo che resta da fare è quello, elementare, di un'area.
Si,Palliit,ho letto
(e sottoscrivo,sopratutto perchè a quel tempo si faceva un pò di abuso nel linguaggio e si chiamavano teoremi di Guldino quelle che in effetti sarebbe più opportuno,essendo conseguenze di quest'ultimo,chiamare formule di Guldino):
invece non avevo letto che eri,ottimamente,intervenuto prima di me..
Saluti dal web.
(e sottoscrivo,sopratutto perchè a quel tempo si faceva un pò di abuso nel linguaggio e si chiamavano teoremi di Guldino quelle che in effetti sarebbe più opportuno,essendo conseguenze di quest'ultimo,chiamare formule di Guldino):
invece non avevo letto che eri,ottimamente,intervenuto prima di me..
Saluti dal web.
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