Calcolo del Volume
ciao!
L'esercizio mi dice: Considerare il solido V contenente il punto \(\displaystyle (0, \frac{3}{2}, 0) \) e delimitato dalle superficie
\(\displaystyle T = \{ 4 x^2 + 4 y^2 + z^2 = 16 \} \) e \(\displaystyle S = \{ \frac{x^2}{4} + \frac{z^2}{16} + y = 1 \} \)
devo disegnare V e calcolare il volume.
come è il disegno di V? e poi come parametrizzo le due superfici per calcolare il volume?
grazie!
L'esercizio mi dice: Considerare il solido V contenente il punto \(\displaystyle (0, \frac{3}{2}, 0) \) e delimitato dalle superficie
\(\displaystyle T = \{ 4 x^2 + 4 y^2 + z^2 = 16 \} \) e \(\displaystyle S = \{ \frac{x^2}{4} + \frac{z^2}{16} + y = 1 \} \)
devo disegnare V e calcolare il volume.
come è il disegno di V? e poi come parametrizzo le due superfici per calcolare il volume?
grazie!
Risposte
Ciao,
l'immagine è in allegato (il punto è inducato con la lettera A), ma comunque in generale ti consiglio di imparare le equazioni delle quadriche visto che sono molto utili.
Per l'integrale io fare un integrale triplo per fili, come dominio $Omega$ per l'integrale doppio prendi la pozione di spazio tra paraboloide e ellissoide; le equazioni le trovi semplicemente ponendo la $z=0$. Le funzioni di $x,y$ da mettere come estremo nel restante integrale sono $z=0$ e $z=sqrt(16-4x^2-4y^2)$ che è l'equazione della parte positiva dell'ellissoide.
Nota che ti basta fare 'metà' integrale visto che c'è simmetria rispetto a $z$ e moltiplicarlo per 2.
quindi così:
$2int int_(Omega)$ $(int_0^(sqrt(16-4x^2-4y^2))dz)dxdy $
Probabilmente ci saranno altri modi, ma al momento mi viene questo
Spero di averti aiutato!
l'immagine è in allegato (il punto è inducato con la lettera A), ma comunque in generale ti consiglio di imparare le equazioni delle quadriche visto che sono molto utili.
Per l'integrale io fare un integrale triplo per fili, come dominio $Omega$ per l'integrale doppio prendi la pozione di spazio tra paraboloide e ellissoide; le equazioni le trovi semplicemente ponendo la $z=0$. Le funzioni di $x,y$ da mettere come estremo nel restante integrale sono $z=0$ e $z=sqrt(16-4x^2-4y^2)$ che è l'equazione della parte positiva dell'ellissoide.
Nota che ti basta fare 'metà' integrale visto che c'è simmetria rispetto a $z$ e moltiplicarlo per 2.
quindi così:
$2int int_(Omega)$ $(int_0^(sqrt(16-4x^2-4y^2))dz)dxdy $
Probabilmente ci saranno altri modi, ma al momento mi viene questo
Spero di averti aiutato!
pacci90 in che uni sei? Questo è il testo di un appello dell'anno scorso a Padova
Per abbozzare un disegno ho posto $ x^2/4+z^2/16 = rho^2 $ e disegnato il tutto sul piano $rho y $: mi viene una specie di mezzaluna delimitata sopra da $ sqrt(1-y^2/4) $ e sotto da $ sqrt(1-y) $, con le intersezioni in $ (1,0) $ e $ (0,1) $.
Da qui non saprei come procedere.
Per abbozzare un disegno ho posto $ x^2/4+z^2/16 = rho^2 $ e disegnato il tutto sul piano $rho y $: mi viene una specie di mezzaluna delimitata sopra da $ sqrt(1-y^2/4) $ e sotto da $ sqrt(1-y) $, con le intersezioni in $ (1,0) $ e $ (0,1) $.
Da qui non saprei come procedere.
Anzi poi in coordinate cilindriche ho posto $ ul{ ( x=2rhocostheta ),( y=y ),( z=4rhosintheta ):} $ con $ sqrt(1-y^2/4) < rho < sqrt(1-y) $ e $ 0 < theta < 2pi $ .
Viene $ 2pi int_ (0) ^ (2) (int_ (sqrt(1-y))^(sqrt(1-y^2/4)) 8rhodrho)dy $ che mi dà $ 32pi/3 $.
Viene $ 2pi int_ (0) ^ (2) (int_ (sqrt(1-y))^(sqrt(1-y^2/4)) 8rhodrho)dy $ che mi dà $ 32pi/3 $.
grazie mille a tutti e due!!!
si esatto sono a Padova e questo è il testo del 18/9/15! sono alle prese con analisi 2
Ora provo ad usare le coordinate cilindriche... in realtà il risultato dovrebbe venire \(\displaystyle \frac{20\pi}{3} \).
in caso provo tutti e due i metodi e vedo se mi riesce
si esatto sono a Padova e questo è il testo del 18/9/15! sono alle prese con analisi 2
Ora provo ad usare le coordinate cilindriche... in realtà il risultato dovrebbe venire \(\displaystyle \frac{20\pi}{3} \).
in caso provo tutti e due i metodi e vedo se mi riesce
"pacci90":
grazie mille a tutti e due!!!
si esatto sono a Padova e questo è il testo del 18/9/15! sono alle prese con analisi 2
Ora provo ad usare le coordinate cilindriche... in realtà il risultato dovrebbe venire \(\displaystyle \frac{20\pi}{3} \).
in caso provo tutti e due i metodi e vedo se mi riesce
Col mio procedimento il denominatore viene giusto, forse ho sbagliato qualche calcolo.
Hai l'appello il 15?
Può essere...
Comunque sisi! Anche tu devi farlo?
Comunque sisi! Anche tu devi farlo?
"pacci90":
Può essere...
Comunque sisi! Anche tu devi farlo?
Sì! L'hai seguito quest'anno il corso?
"gendarius":
[quote="pacci90"]Può essere...
Comunque sisi! Anche tu devi farlo?
Sì! L'hai seguito quest'anno il corso?[/quote]
No perché lo avevo già frequentato... Sono un po' fuori corso... Spero che questa sia la volta buona!
"pacci90":
[quote="gendarius"][quote="pacci90"]Può essere...
Comunque sisi! Anche tu devi farlo?
Sì! L'hai seguito quest'anno il corso?[/quote]
No perché lo avevo già frequentato... Sono un po' fuori corso... Spero che questa sia la volta buona![/quote]
Al primo appello mi sono ritirato perché non mi sarebbe andato come avrei sperato.
Ah ok! Hai bardi per caso? Che domande di teoria ha fatto?
"pacci90":
Ah ok! Hai bardi per caso? Che domande di teoria ha fatto?
Proprio lui!
Sul mio tema:
1. Rettificabilità delle curve di classe C¹ (FAC: dimostrazione)
2. Enunciare le formule di Gauss-Green e dedurne il teorema di Stokes nel piano
3. Derivata n-esima di una funzione complessa con dimostrazione (per induzione).
"gendarius":
[quote="pacci90"]Ah ok! Hai bardi per caso? Che domande di teoria ha fatto?
Proprio lui!
Sul mio tema:
1. Rettificabilità delle curve di classe C¹ (FAC: dimostrazione)
2. Enunciare le formule di Gauss-Green e dedurne il teorema di Stokes nel piano
3. Derivata n-esima di una funzione complessa con dimostrazione (per induzione).[/quote]
Però! La seconda l aveva già messa in un altro appello...
Sta settimana studierò bene la teoria
"pacci90":
[quote="gendarius"][quote="pacci90"]Ah ok! Hai bardi per caso? Che domande di teoria ha fatto?
Proprio lui!
Sul mio tema:
1. Rettificabilità delle curve di classe C¹ (FAC: dimostrazione)
2. Enunciare le formule di Gauss-Green e dedurne il teorema di Stokes nel piano
3. Derivata n-esima di una funzione complessa con dimostrazione (per induzione).[/quote]
Però! La seconda l aveva già messa in un altro appello...
Sta settimana studierò bene la teoria[/quote]
In una variante, sempre di questo appello, ha chiesto di dimostrare l'ortogonalità del gradiente alle curve di livello (stessa domanda del primo parziale).
grazie mille!
scusa se ti disturbo ancora... ma per caso hai fatto l'appello del 1/7/15? il secondo esercizio non so come impostarlo...
scusa se ti disturbo ancora... ma per caso hai fatto l'appello del 1/7/15? il secondo esercizio non so come impostarlo...
"pacci90":
grazie mille!
scusa se ti disturbo ancora... ma per caso hai fatto l'appello del 1/7/15? il secondo esercizio non so come impostarlo...
Certamente. Abbiamo $ G = {(x,y,z): x^2+y^2<=4,x^2+y*2+z*2<=9} $.
Il primo, $ (x,y,z): x^2+y^2<=4 $ è un cilindro di altezza infinita e raggio $2$.
Il secondo, $(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=9$ è una sfera di raggio $3$.
Mettendo a sistema le equazioni si ottiene che la loro intersezione sta in $ z=+-sqrt(5) $
Per risolverlo puoi procedere così:
1. Consideri solo la parte con $ z>=0 $
2. Calcoli il volume del cilindro tra $ z=0 $ e $ z=sqrt(5) $, che viene $ V(1)=4pisqrt(5) $
3. Calcoli il volume del pezzo sopra, che è z-semplice:
$ V(2)= int int_D(int_sqrt(5)^sqrt(9-x^2-y^2)dz)dxdy $ dove $ D={(x,y):x^2+y^2<=4} $.
In coordinate polari risulta $ V(2)=int_0^(2pi)d theta int_0^2 rho(sqrt(9-rho^2)-sqrt(5))drho = 18pi-4pisqrt(5)-(5pisqrt(5))/3 $
Per ottenere il volume totale basta sommare $ V(1) $ e $ V(2) $ e moltiplicare per due (perché dal punto 1. non ho considerato la parte sotto).
In teoria non ci sono errori nel procedimento (forse di calcolo, sono leso), invito comunque a qualcuno di puù esperto di controllare.
"gendarius":
[quote="pacci90"]grazie mille!
scusa se ti disturbo ancora... ma per caso hai fatto l'appello del 1/7/15? il secondo esercizio non so come impostarlo...
Certamente. Abbiamo $ G = {(x,y,z): x^2+y^2<=4,x^2+y*2+z*2<=9} $.
Il primo, $ (x,y,z): x^2+y^2<=4 $ è un cilindro di altezza infinita e raggio $2$.
Il secondo, $(x,y,z):x^2+y^2+z^2<=9$ è una sfera di raggio $3$.
Mettendo a sistema le equazioni si ottiene che la loro intersezione sta in $ z=+-sqrt(5) $
Per risolverlo puoi procedere così:
1. Consideri solo la parte con $ z>=0 $
2. Calcoli il volume del cilindro tra $ z=0 $ e $ z=sqrt(5) $, che viene $ V(1)=4pisqrt(5) $
3. Calcoli il volume del pezzo sopra, che è z-semplice:
$ V(2)= int int_D(int_sqrt(5)^sqrt(9-x^2-y^2)dz)dxdy $ dove $ D={(x,y):x^2+y^2<=4} $.
In coordinate polari risulta $ V(2)=int_0^(2pi)d theta int_0^2 rho(sqrt(9-rho^2)-sqrt(5))drho = 18pi-4pisqrt(5)-(5pisqrt(5))/3 $
Per ottenere il volume totale basta sommare $ V(1) $ e $ V(2) $ e moltiplicare per due (perché dal punto 1. non ho considerato la parte sotto).
In teoria non ci sono errori nel procedimento (forse di calcolo, sono leso), invito comunque a qualcuno di puù esperto di controllare.[/quote]
grazie mille!
non sapevo come fare con la z...
"pacci90":
grazie mille!
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