Calcolo del Seguente limite

[Daniele1100]

Salve a tutti, sto avendo un po di problemi a risolvere i seguenti limiti: inseriti nell'allegato, il problema è che non trovandomi in una forma indeterminata non so come procedere, c'è quell'elevamento alla 1/x che mi fa pensare di dover utilizzare le proprietà dei logaritmi ma non so bene come fare.
Grazie in anticipo :)

[Matlurker]

Per velocizzare il calcolo, è' utile pensare a sostituire la variabile, in modo da riportarci ai limiti notevoli. Prendiamo ad esempio il primo esercizio:

[math] \lim_{x\to 0^+} (1+\frac{\sin{2x}}{3})^{\frac{1}{x}}[/math]

Possiamo pensarlo come:

[math]\lim_{x\to 0^+} (1+\frac{2x}{3} \cdot \frac{\sin{2x}}{2x})^{\frac{1}{x}}[/math]

e poi

[math]\lim_{x\to 0^+} (1+\frac{2x}{3} \cdot \frac{\sin{2x}}{2x})^{\frac{2}{3} \frac{1}{2/3x}}[/math]

Se poniamo

[math]p=\frac{2x}{3}[/math]

per x tendente a 0+ anche p tende a 0+; e dunque:

[math]x=\frac{3p}{2}[/math]

[math]\lim_{p\to 0^+} (1+p \cdot \frac{\sin{3p}}{3p})^{\frac{2}{3} \frac{1}{p}}[/math]

ossia

[math][\lim_{p\to 0^+} (1+p \cdot \frac{\sin{3p}}{3p})^{\frac{1}{p}}]^\frac{2}{3}[/math]

e dunque:

[math] \lim_{x\to 0^+} (1+\frac{\sin{2x}}{3})^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{2}{3}}[/math]

[danyper]

Ciao Daniele
Come ti hanno già detto, il primo dei due limiti proposto, che si presenta in forma indeterminata:

[math]1^{+\infty}[/math]

Può essere risolto operando un cambio di variabile e ricorrendo al limite notevole:

[math] \lim_{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/math]

oppure con de l'Hopital
(vedi pdf allegato)
Per il secondo ho usato il teorema del confronto.

limiti in forma indeterminata

^_^