Calcolo del potenziale
Salve a tutti,
in un esempio sulla costruzione del potenziale mi sono imbattuto in un passaggio poco chiaro. In pratica, dopo aver verificato che la forma differenziale $omega$ è chiusa, per il calcolo del potenziale parte fissando due curve definite dall'origine ad un generico punto $(x,y)$ in questo modo:
$gamma_1(t)=(tx, 0), t in [0,1]$
$gamma_2(t)=(x, (t-1)y), t in [1,2]$
che poi unisce e su di esse integra $omega$.
La forma differenziale è $omega=(3x^2y+xy^2+2)dx + (x^3+x^2y-1)dy$ in $RR^2$.
La scelta delle curve e dell'intervallo in cui vengono definite è arbitraria o si basa su dei parametri?
in un esempio sulla costruzione del potenziale mi sono imbattuto in un passaggio poco chiaro. In pratica, dopo aver verificato che la forma differenziale $omega$ è chiusa, per il calcolo del potenziale parte fissando due curve definite dall'origine ad un generico punto $(x,y)$ in questo modo:
$gamma_1(t)=(tx, 0), t in [0,1]$
$gamma_2(t)=(x, (t-1)y), t in [1,2]$
che poi unisce e su di esse integra $omega$.
La forma differenziale è $omega=(3x^2y+xy^2+2)dx + (x^3+x^2y-1)dy$ in $RR^2$.
La scelta delle curve e dell'intervallo in cui vengono definite è arbitraria o si basa su dei parametri?
Risposte
Nella maggior parte dei casi la scelta è arbitraria, solitamente si opta per:
-traiettoria unica segmentaria : $gamma=[(0,0);(x,y)]$.
-duplice traiettoria segmentaria "azimutale": $gamma_1=[(0,0);(x,0)] uu gamma_2=[(x,0);(x,y)]$.
-traiettoria unica segmentaria : $gamma=[(0,0);(x,y)]$.
-duplice traiettoria segmentaria "azimutale": $gamma_1=[(0,0);(x,0)] uu gamma_2=[(x,0);(x,y)]$.
Mi permetto di aggiungere due cose:
1) in quello che dice lordb si trova il potenziale che assume un valore specifico in $(0,0)$. Per avere un qualsiasi potenziale, in genere, si può partire da un qualsiasi punto $(x_0,y_0)$ che si trovi all'interno del dominio semplicemente connesso in cui la forma risulta esatta.
2) Un altro metodo meno "formale" e basato sul calcolo diretto sta nell'osservare che se si ha la forma $\omega=A\ dx+B\ dy$ e dovendo essere $f_x=A,\ f_y=B$ (con i pedici indico le derivate parziali del potenziale $f$) allora si può osservare che
$f(x,y)=\int A\ dx+g(y)$ oppure $f(x,y)=\int B\ dy+h(x)$
dov $g,h$ sono funzioni arbitrarie. A questo punto derivando una delle due espressioni rispetto alla variabile "libera" (cioè quella rispetto alla quale non si è integrato) si trova una condizione per determinare il valore di $g$ (o $h$ a seconda dei casi).
Nel precedente
$f(x,y)=\int(3x^2 y+xy^2+2)\ dx=x^3 y+{x^2 y^2}/2+2x+g(y)$
e derivando rispetto ad $y$ si ha
$f_y=x^3+x^2 y+g'(y)=x^3+x^2 y-1$
da cui $g'(y)=-1\ \Rightarrow\ g(y)=-y+c$
Pertanto $f(x,y)=x^3 y+{x^2 y^2}/2+2x-y+c,\ c\in RR$ rappresenta il generico potenziale.
1) in quello che dice lordb si trova il potenziale che assume un valore specifico in $(0,0)$. Per avere un qualsiasi potenziale, in genere, si può partire da un qualsiasi punto $(x_0,y_0)$ che si trovi all'interno del dominio semplicemente connesso in cui la forma risulta esatta.
2) Un altro metodo meno "formale" e basato sul calcolo diretto sta nell'osservare che se si ha la forma $\omega=A\ dx+B\ dy$ e dovendo essere $f_x=A,\ f_y=B$ (con i pedici indico le derivate parziali del potenziale $f$) allora si può osservare che
$f(x,y)=\int A\ dx+g(y)$ oppure $f(x,y)=\int B\ dy+h(x)$
dov $g,h$ sono funzioni arbitrarie. A questo punto derivando una delle due espressioni rispetto alla variabile "libera" (cioè quella rispetto alla quale non si è integrato) si trova una condizione per determinare il valore di $g$ (o $h$ a seconda dei casi).
Nel precedente
$f(x,y)=\int(3x^2 y+xy^2+2)\ dx=x^3 y+{x^2 y^2}/2+2x+g(y)$
e derivando rispetto ad $y$ si ha
$f_y=x^3+x^2 y+g'(y)=x^3+x^2 y-1$
da cui $g'(y)=-1\ \Rightarrow\ g(y)=-y+c$
Pertanto $f(x,y)=x^3 y+{x^2 y^2}/2+2x-y+c,\ c\in RR$ rappresenta il generico potenziale.
Concordo con ciampax,
puoi comunque trovare un potenziale $V:dom (omega)->RR$ che si annulla in $(0,0)$ ( $V(0,0)=0$ ) e poi sapendo che l'insieme dei potenziali è dato al variare di una costante $c$ reale , puoi sempre trovare il potenziale che ti interessa ponendo: $V(x_0,y_0)=0$ e trovandoti $c$.
puoi comunque trovare un potenziale $V:dom (omega)->RR$ che si annulla in $(0,0)$ ( $V(0,0)=0$ ) e poi sapendo che l'insieme dei potenziali è dato al variare di una costante $c$ reale , puoi sempre trovare il potenziale che ti interessa ponendo: $V(x_0,y_0)=0$ e trovandoti $c$.
Perfetto, siete stati chiarissimi! Grazie ad entrambi 
Di niente 
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