Calcolo del potenziale

[gcan]

$F=(y/(2sqrtx)+yz^2,sqrtx+xz^2+2y,2xyz)$
Devo calcolare il potenziale di questo campo, a me esce $U=2xyz^2+sqrtxy+y^2$
Però l'esercizio dice che il risultato deve essere $U=xyz^2+sqrtxy+y^2$
Quale è giusto?

[ciampax]

Quello che dice il libro. Probabilmente hai usato due volte la stessa funzione.

[gcan]

$ int_()^() 2xyz dz=xyz^2+ C' (y) $
$ xz^2+c'(y)= sqrtx+xz^2+2y $
$ int_()^() sqrtx+2y dy=sqrtxy+y^2+c'(x) $
$ y/(2sqrtx)+c'(x)=y/(2sqrtx)+yz^2 $
$ int_()^() yz^2 dx = xyz^2+k $
$ U=2xyz^2+sqrtxy+y^2 $
Cosa sbaglio?

[ciampax]

$U=\int 2xyz \dz=xyz^2+C(x,y)$ visto che hai integrato solo rispetto a $z$. Se derivi rispetto a $y$
$$U_y=xz^2+C_y(x,y)=\sqrt{x}+xz^2+2y$$
da cui $C_y(x,y)=\sqrt{x}+2y$ e integrando rispetto a $y$
$$C(x,y)=y\sqrt{x}+y^2+B(x)$$
e quindi
$$U(x,y,z)=xyz^2+y\sqrt{x}+y^2+B(x)$$
Derivando rispetto a $x$
$$U_x=yz^2+\frac{y}{2\sqrt{x}}+B'(x)=yz^2+\frac{y}{2\sqrt{x}}$$
da cui si deduce $B'=0$ e quindi $B=cost$. Ne segue che
$$U(x,y,z)=xyz^2+y\sqrt{x}+2y+c$$

[gcan]

ok, praticamente ogni volta devo riconsiderare tutti i passaggi! io, invece, facevo passo passo le derivazioni e poi, alla fine, riunivo tutto per creare il potenziale.
credo che adesso mi sia chiaro, nel caso ti ricontatto in questo post!
grazie mille per la disponibilità