Calcolo del potenziale
Buon pomeriggio! 
Vorrei chiedervi un chiarimento su questo esercizio.
$ F:R^3xx R^3 $ $ F(x,y,z)=(seny,xcosy+z^3,3yz^2) $
$ (partial F_1)/(partial y) (x,y,z)=cosy= (partial F_2)/(partial x)(x,y,z) $
$ (partial F_1)/(partial z) (x,y,z)=0= (partial F_3)/(partial x)(x,y,z) $
$ (partial F_2)/(partial z) (x,y,z)=3z^2= (partial F_3)/(partial y)(x,y,z) $
Trovare g (il potenziale), g(-1,2,4)=2
Il percorso per trovarlo è: (0,0,0) --> (0,y,0) --> (x,y,0) --> (x,y,z)
$ g(x,y,z)=int_(0)^(x) seny dt + int_(0)^(z) 3yu^2 du=xseny+yz^3 $
$ g(-1,2,4)+c=2 $
$ -sen2+128+c=2 rarr c=sen2-126 $
$ g(x,y,z)=xseny+yz^3+sen2-126 $
La mia domanda è: perché $ int_(0)^(y) (xcosp+z^3) dp=0 $ ?
Vorrei chiedervi un chiarimento su questo esercizio.
$ F:R^3xx R^3 $ $ F(x,y,z)=(seny,xcosy+z^3,3yz^2) $
$ (partial F_1)/(partial y) (x,y,z)=cosy= (partial F_2)/(partial x)(x,y,z) $
$ (partial F_1)/(partial z) (x,y,z)=0= (partial F_3)/(partial x)(x,y,z) $
$ (partial F_2)/(partial z) (x,y,z)=3z^2= (partial F_3)/(partial y)(x,y,z) $
Trovare g (il potenziale), g(-1,2,4)=2
Il percorso per trovarlo è: (0,0,0) --> (0,y,0) --> (x,y,0) --> (x,y,z)
$ g(x,y,z)=int_(0)^(x) seny dt + int_(0)^(z) 3yu^2 du=xseny+yz^3 $
$ g(-1,2,4)+c=2 $
$ -sen2+128+c=2 rarr c=sen2-126 $
$ g(x,y,z)=xseny+yz^3+sen2-126 $
La mia domanda è: perché $ int_(0)^(y) (xcosp+z^3) dp=0 $ ?
Risposte
mi sembra che ti stia complicando un pò la vita, la forma differenziale è abbastanza semplice perchè devi andare a farti tutti questi calcoli, io a occhio ti dico che f è $f=xsiny+yz^3$ come ci sono arrivato?? allora come ben sai f deve essere tale che $(df)/dx_i=F_i $ partendo da questo presuttosto:
$ (partial f)/(partial x) =F_1 $ allora integro F1 rispetto a x e ottengo $xsiny +c(yz)$ (1.0)
a questo punto $c^{\prime}(yz)=z^3 $ integro e ottengo $ c(yz)=yz^3 +c(z)$ e sostituisco nella 1.0 ottenendo: $xsiny +yz^3 +c(z) $ ma c(z)=0 da cui $f=xsiny+yz^3$, a questo punto lascio a te la verifica di derivare e verificare che tutto torni
$ (partial f)/(partial x) =F_1 $ allora integro F1 rispetto a x e ottengo $xsiny +c(yz)$ (1.0)
a questo punto $c^{\prime}(yz)=z^3 $ integro e ottengo $ c(yz)=yz^3 +c(z)$ e sostituisco nella 1.0 ottenendo: $xsiny +yz^3 +c(z) $ ma c(z)=0 da cui $f=xsiny+yz^3$, a questo punto lascio a te la verifica di derivare e verificare che tutto torni
L’ha fatto il mio prof così, e sono comunque obbligata a farli tutti questi calcoli se no me lo considera sbagliato. Solo che non capisco perché il primo integrale lo consideri 0...
intendi c(z)?? sono stato molto rapido nei passaggi, lo step è questo:
$z^3+c^{\prime}(z)=z^3 $ da cui c(z)=0, non so che metodo vi abbia insegnato il prof, ad essere sincero nella mia ignoranza pura non ho mai visto un potenziale calcolato così, quando sono così banali tutta quella miriade di calcoli la trovo veramente inutile e massacrante...vabbè che studio ingegneria e quindi per forma-mentis ho la tendenza a scegliere la via più facile , ma credo che anche un matematico in questo caso scriverebbe il risultato senza stare a pensarci troppo, cmq certo se il prof lo vuole risolto così è giusto imparare il metodo...io purtroppo allora non so come poterti aiutare, lascio l'onere a qualche altro membro più esperto in materia
$z^3+c^{\prime}(z)=z^3 $ da cui c(z)=0, non so che metodo vi abbia insegnato il prof, ad essere sincero nella mia ignoranza pura non ho mai visto un potenziale calcolato così, quando sono così banali tutta quella miriade di calcoli la trovo veramente inutile e massacrante...vabbè che studio ingegneria e quindi per forma-mentis ho la tendenza a scegliere la via più facile
, ma credo che anche un matematico in questo caso scriverebbe il risultato senza stare a pensarci troppo, cmq certo se il prof lo vuole risolto così è giusto imparare il metodo...io purtroppo allora non so come poterti aiutare, lascio l'onere a qualche altro membro più esperto in materia
Ok, comunque anche io studio ingegneria, e complicarsi la vita è un hobby del nostro prof! ;P
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