Calcolo del numero di soluzioni equazione

[Bade1]

Ciao a tutti, non trovo esempi ne sul libro ne in internet di un esercizio del genere e visto che mi avete già aiutato varie volte, mi appello di nuovo a voi

Mi viene chiesto di calcolare il numero di soluzioni dell'equazione

$x-ln((x+1)/(2x+3)) = K $ al variare di k in R.

Cosa vuol dire? E' giusto procedere in questo modo?
Ho supposto innanzitutto che k=0 ed ho calcolato:

$ ln((x+1)/(2x+3))=x $
$ (x+1)/(2x+3)=e^x $
$ (x+1)/(2x+3)=e^x(2x+3)/(2x+3) $
$ (x+1-2xe^x-3e^x)/(2x+3)=0 $
$ x+1-2xe^x-2e^x=0 $
$ xe^x+e^x=0 $
x=-(e^x/e^x)=-1 $

Poi faccio altri calcoli supponendo che k sia diversa da 0 questa volta.
Secondo me...no.

[Paolo902]

Io ti consiglierei di studiare il grafico della funzione $f(x)=x-ln((x+1)/(2x+3))$ e poi di valutare graficamente il numero di intersezioni con la generica retta parallela all'asse $x$, di equazione $y=k$.

In alternativa, se sei pratico di geometria analitica e con i fasci di rette, puoi studiare "solo" $y=ln((x+1)/(2x+3))$ e poi vedere le intersezioni con il fascio improprio $y=x-k$.

In ogni caso, quello che ti ho descritto è un modo di procedere abbastanza standard, se hai un libro di teoria (anche solo di liceo) prova a cercare qualche esempio, dovresti trovare qualcosa.

Altrimenti, prova a fare un po' di conti seguendo la strada che ti ho suggerito io e posta qui i tuoi risultati: saremo ben lieti di aiutarti, laddove ce ne fosse bisogno.

Buono studio.

[Bade1]

Effettivamente questo è l'ultimo punto di un esercizio di studio di funzione non sapevo si potesse fare anche così.
Dal grafico si capisce molto bene quali punti prendere per k come campioni. A questo punto basta dire il numero di interesezioni vero?? Nient'altro

Non mi addentro nella geometria, per ora anche perchè credo proprio si dovesse risolvere nel primo modo che mi hai indicato!

Grazie infinite, questo esercizio vale molto all'esame..saperlo svolgere tutto in ogni particolarità che potrebbe esserci è un bel passo avanti!