Calcolo del Limite senza equivalenza asintotica
Salve a tutti, preparandomi per l'esame di Analisi 1 ho trovato un limite su questo forum che credo vorrei risolvere senza le equivalenze asintotiche. Il risultato che mi viene è sbagliato poichè mi viene solamente $((log (2))/3)$ e non $((log(2))/3) - 1$ come dovrebbe. Tale limite è: $lim x->0 (log(5x^2 -3x + 2^x))/ (sen(3x))$
Per prima cosa ho messo in evidenza $2^x$ nell'argomento del logaritmo, mandando a zero gli altri termini. Poi per le proprietà dei logaritmi ho portato giù la $x$ dall'esponente ottenendo $ xlog(2) /(sen(3x))$ Poi ho moltiplicato e diviso per 3, avendo $((log(2))/3) (3x)/(sen(3x)$. Poi ho girato $(3x)/(sen(3x)$ scrivendola come $((sen(3x))/(3x))^-1)$. Infine con il cambio di variabile $y=3x$ ho sfruttato il limite notevole del seno e mandato tutto al limite. Poichè il reciproco di 1 è comunque 1 mi rimane solo $(log(2)/3)$. Dove sbaglio? Probabilmente sarà un errore algebrico. Grazie per la disponibilità.
Per prima cosa ho messo in evidenza $2^x$ nell'argomento del logaritmo, mandando a zero gli altri termini. Poi per le proprietà dei logaritmi ho portato giù la $x$ dall'esponente ottenendo $ xlog(2) /(sen(3x))$ Poi ho moltiplicato e diviso per 3, avendo $((log(2))/3) (3x)/(sen(3x)$. Poi ho girato $(3x)/(sen(3x)$ scrivendola come $((sen(3x))/(3x))^-1)$. Infine con il cambio di variabile $y=3x$ ho sfruttato il limite notevole del seno e mandato tutto al limite. Poichè il reciproco di 1 è comunque 1 mi rimane solo $(log(2)/3)$. Dove sbaglio? Probabilmente sarà un errore algebrico. Grazie per la disponibilità.
Risposte
Semplicemente sei stato un po' frettoloso con la messa in evidenza
$\lim_{x \to \0} (ln(5x^2-3x+2^x))/(sen(3x))$
$\lim_{x \to \0} (ln(2^x(1+(5x^2-3x)/2^x)))/(sen(3x))$
$\lim_{x \to \0} (ln(2^x))/(sen(3x))$ + $\lim_{x \to \0} (ln(1+(5x^2-3x)/2^x))/(sen(3x))$
Il primo limite va per l'appunto a $ln(2)/3$
$ln(2)/3+\lim_{x \to \0} (ln(1+(5x^2-3x)/2^x))/((5x^2-3x)/2^x)*\lim_{x \to \0} (3x(5x-3))/(3sen(3x)*2^x)$
Il primo dei due limiti è un limite notevole e va a $1$, il secondo va invece a $-1$
$\lim_{x \to \0} (ln(5x^2-3x+2^x))/(sen(3x))$
$\lim_{x \to \0} (ln(2^x(1+(5x^2-3x)/2^x)))/(sen(3x))$
$\lim_{x \to \0} (ln(2^x))/(sen(3x))$ + $\lim_{x \to \0} (ln(1+(5x^2-3x)/2^x))/(sen(3x))$
Il primo limite va per l'appunto a $ln(2)/3$
$ln(2)/3+\lim_{x \to \0} (ln(1+(5x^2-3x)/2^x))/((5x^2-3x)/2^x)*\lim_{x \to \0} (3x(5x-3))/(3sen(3x)*2^x)$
Il primo dei due limiti è un limite notevole e va a $1$, il secondo va invece a $-1$
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