Calcolo del limite di una serie

[UbuntuRules]

Ciao a tutti,
ci sarebbe qualcuno così gentile da indicarmi la giusta via per risolvere questo esercizio?
$ lim_(n -> oo ) sum_(k = 1)^(n) sin((k pi)/(2n)) $

dovrei trovare la somma parziale della serie e poi farne il limite?

[Raptorista1]

"UbuntuRules":ci sarebbe qualcuno così gentile da indicarmi la giusta via per risolvere questo esercizio?

Per quanto personalmente approvi il tuo nickname, penso che questo non si possa fare!
Come da regolamento, proponi un tuo tentativo prima.

[gugo82]

Non so se conosci i numeri complessi, quindi la butto lì...

Per calcolare la somma:

[tex]$\sum_{k=1}^n \sin \tfrac{k}{2n}\pi$[/tex]

potresti pensare di sfruttare il fatto che:

[tex]$\sin \tfrac{k}{2n}\pi =\text{Im}(e^{\imath \frac{k}{2n}\pi})$[/tex]

e ricordare che la somma di una progressione geometrica con ragione [tex]$\lambda \in \mathbb{C}$[/tex] (così come nel caso reale) si esprime:

[tex]$\sum_{k=n_0}^n \lambda^k = \lambda^{n_0} \frac{1-\lambda^{n-n_0+1}}{1-\lambda}$[/tex].

Infatti, applicando la regola appena richiamata alla somma:

[tex]$\sum_{k=1}^{n} e^{\imath \frac{k}{2n}\pi} =\sum_{k=1}^{n} (e^{\imath \frac{\pi}{2n}})^k$[/tex]

trovi una certa espressione complessa; però, dato che:

[tex]$\sum_{k=1}^n \sin \tfrac{k}{2n}\pi =\sum_{k=1}^{n} \text{Im} (e^{\imath \frac{k}{2n}\pi})=\text{Im} \left( \sum_{k=1}^{n} e^{\imath \frac{k}{2n}\pi}\right)$[/tex],

basta separare il reale dall'immaginario nella suddetta espressione per ottenere la somma cercata.