Calcolo del limite
$\lim_{(x,y) ->(0,0)} (x^2\ y^2) / (x^2 + y^6)$
Allora in 2 variabili è tutto un pò più complicato. Allora ho capito che per calcolare un limite occore utilizzare le cordinate polari oppure scegliere una retta, parabola da sostituire alla funzione (c'è un motivo preferenziale?). Il risultato dice che questo deve fare zero.
$\lim_{\rho->0} (\rho^2 \cos^2\theta \rho^2\sin^2\theta)/(\rho^2 \cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta) = 1 / (\cos^2\theta + \rho^4\sn^6\theta)$
Si può risolvere per maggiorezione?
Se invece uso $y = mx$ la funzione dipende da $m$ devo usare la parabola? è una cosa da capire solo sperimentalmente?
Allora in 2 variabili è tutto un pò più complicato. Allora ho capito che per calcolare un limite occore utilizzare le cordinate polari oppure scegliere una retta, parabola da sostituire alla funzione (c'è un motivo preferenziale?). Il risultato dice che questo deve fare zero.
$\lim_{\rho->0} (\rho^2 \cos^2\theta \rho^2\sin^2\theta)/(\rho^2 \cos^2\theta + \rho^6\sin^6\theta) = 1 / (\cos^2\theta + \rho^4\sn^6\theta)$
Si può risolvere per maggiorezione?
Se invece uso $y = mx$ la funzione dipende da $m$ devo usare la parabola? è una cosa da capire solo sperimentalmente?
Risposte
Al limite:
$[f(rhocostheta,rhosintheta)=(rho^4cos^2thetasin^2theta)/(rho^2cos^2theta+rho^6sin^6theta)=(rho^2cos^2thetasin^2theta)/(cos^2theta+rho^4sin^6theta)]$
In ogni modo, non è necessario complicarsi troppo la vita:
$[(x^2y^2)/(x^2+y^6)<=(x^2y^2)/x^2=y^2]$
$[f(rhocostheta,rhosintheta)=(rho^4cos^2thetasin^2theta)/(rho^2cos^2theta+rho^6sin^6theta)=(rho^2cos^2thetasin^2theta)/(cos^2theta+rho^4sin^6theta)]$
In ogni modo, non è necessario complicarsi troppo la vita:
$[(x^2y^2)/(x^2+y^6)<=(x^2y^2)/x^2=y^2]$
perfetto questo era banale! Non ho capito se c'è un modo per intraprendere la strada giusta per risolvere un limite...cordinate polari, maggiorazione, sostituzione (ma quale?)
Siccome il limite se esiste deve essere unico, chi mi assicura che facendolo solo in un modo sia corretto?
Grazie mille
Siccome il limite se esiste deve essere unico, chi mi assicura che facendolo solo in un modo sia corretto?
Grazie mille
Io procederei in questo modo:
1. Senza perdere troppo tempo, cercare di trovare una semplice maggiorazione. In questo caso il limite esiste.
2. Se il primo passo fallisce, restringersi ad una generica retta nella speranza che il limite dipenda dalla retta. In questo caso il limite non esiste.
3. Se fallisce anche il secondo passo, senza perdere troppo tempo, valutare altre curve lungo le quali operare le restrizioni, sempre nella speranza che si ottengano limiti diversi. In questo caso il limite non esiste.
4. Se fallisce anche il terzo passo, è molto probabile che il limite esista e che si debba maggiorare. Quindi, è necessario tornare al primo passo e insistere.
In alcuni casi, quando l'esercizio lo consente, si può procedere per forza bruta:
esistenza-di-un-limite-due-variabili-t86655.html
Tuttavia, nonostante l'alto valore didattico di un tale procedimento, mi sentirei di escludere un'eventualità del genere.
1. Senza perdere troppo tempo, cercare di trovare una semplice maggiorazione. In questo caso il limite esiste.
2. Se il primo passo fallisce, restringersi ad una generica retta nella speranza che il limite dipenda dalla retta. In questo caso il limite non esiste.
3. Se fallisce anche il secondo passo, senza perdere troppo tempo, valutare altre curve lungo le quali operare le restrizioni, sempre nella speranza che si ottengano limiti diversi. In questo caso il limite non esiste.
4. Se fallisce anche il terzo passo, è molto probabile che il limite esista e che si debba maggiorare. Quindi, è necessario tornare al primo passo e insistere.
In alcuni casi, quando l'esercizio lo consente, si può procedere per forza bruta:
esistenza-di-un-limite-due-variabili-t86655.html
Tuttavia, nonostante l'alto valore didattico di un tale procedimento, mi sentirei di escludere un'eventualità del genere.
Grazie mille
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