Calcolo del flusso uscente da una superficie
Avrei dei dubbi su questo esercizio :
sia $D$ il compatto di $RR^3$ delimitato da
$E = { (x,y,z) in RR^3 | x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 4 }$ e
$P = { (x,y,z) in RR^3 | x = y^2 + z^2 }$
- Parametrizzare $delD$ e scriverne ( dove possibile ) piano tangente e versore normale
( questo punto dell'esercizio, richiede anche i punti in cui le quadriche non sono differenziabili? )
- Scrivere in particolare versore normale e piano tangente in $P = ( 2/3 ,(sqrt(3))/3 , -(sqrt(3))/3 )$
- Calcolare il flusso uscente dal bordo di $D$ del campo $F(x,y,z) = ( (6z+1)x^2 , -(y+z)x^3 , xz(x^2 -6z -2) )$
Allora, come primo passaggio, ho disegnato nel piano $xz$ le due porzioni delle quadriche, il paraboloide ellittico e l'ellissoide prolato di asse $a=2$ sull'asse $x$ e $c=2/(sqrt(3))$ su quello $z$, che si intersecano in $(1,1)$.
Quindi ho descritto la superficie così $delD = \Sigma_1 uu \Sigma_2$ con
$\Sigma_1 = { (x,y,z) in RR^3 | x = y^2 + z^2 , 0<=x<=1 }$ e $\Sigma_2 = { (x,y,z) in RR^3 | x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 4 , 1
Poichè $P in \Sigma_1$, ho parametrizzato la porzione di superficie così $\vec r(u,v) = (u^2 + v^2 , u, v )$
con $u in [0,2pi]$ e $v in [-1,1]$
Poi ho derivato $\vec r(u,v)$ rispetto a $u$ ottenendo $(del\vec r)/(delu) = (2u, 1, 0)$
e rispetto a $v$ ottenendo $(del\vec r)/(delv) = (2v, 0, 1)$
quindi $(del\vec r)/(delu) vv (del\vec r)/(delv) = (1, -2u, -2v )$ che per $P$ ha valore $(1, -2(sqrt(3))/3, 2(sqrt(3))/3 )$.
Pertanto il versore normale in $P$ risulta essere $( (1, -2(sqrt(3))/3, 2(sqrt(3))/3 ) )/sqrt(11/3)$
Spero che queste conclusioni siano esatte, poichè ho attribuito a $v$ e $u$ i valori della $y$ e della $z$ del punto $P$.
Per quanto riguarda il flusso, sfruttando il calcolo della divergenza ottengo
$\int int int_D ( 2x(6z+1) -x^3 -12xy ) dxdydz$
e volevo chiedervi se posso integrarlo per $x in [0, 1]$ su $\Sigma_1$
e per $x in (1, 2]$ su $\Sigma_2$ per poi sommare i risultati. O ci sono altre vie?
Spero di esser stato abbastanza chiaro
Ringrazio in anticipo.
sia $D$ il compatto di $RR^3$ delimitato da
$E = { (x,y,z) in RR^3 | x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 4 }$ e
$P = { (x,y,z) in RR^3 | x = y^2 + z^2 }$
- Parametrizzare $delD$ e scriverne ( dove possibile ) piano tangente e versore normale
( questo punto dell'esercizio, richiede anche i punti in cui le quadriche non sono differenziabili? )
- Scrivere in particolare versore normale e piano tangente in $P = ( 2/3 ,(sqrt(3))/3 , -(sqrt(3))/3 )$
- Calcolare il flusso uscente dal bordo di $D$ del campo $F(x,y,z) = ( (6z+1)x^2 , -(y+z)x^3 , xz(x^2 -6z -2) )$
Allora, come primo passaggio, ho disegnato nel piano $xz$ le due porzioni delle quadriche, il paraboloide ellittico e l'ellissoide prolato di asse $a=2$ sull'asse $x$ e $c=2/(sqrt(3))$ su quello $z$, che si intersecano in $(1,1)$.
Quindi ho descritto la superficie così $delD = \Sigma_1 uu \Sigma_2$ con
$\Sigma_1 = { (x,y,z) in RR^3 | x = y^2 + z^2 , 0<=x<=1 }$ e $\Sigma_2 = { (x,y,z) in RR^3 | x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 4 , 1
Poichè $P in \Sigma_1$, ho parametrizzato la porzione di superficie così $\vec r(u,v) = (u^2 + v^2 , u, v )$
con $u in [0,2pi]$ e $v in [-1,1]$
Poi ho derivato $\vec r(u,v)$ rispetto a $u$ ottenendo $(del\vec r)/(delu) = (2u, 1, 0)$
e rispetto a $v$ ottenendo $(del\vec r)/(delv) = (2v, 0, 1)$
quindi $(del\vec r)/(delu) vv (del\vec r)/(delv) = (1, -2u, -2v )$ che per $P$ ha valore $(1, -2(sqrt(3))/3, 2(sqrt(3))/3 )$.
Pertanto il versore normale in $P$ risulta essere $( (1, -2(sqrt(3))/3, 2(sqrt(3))/3 ) )/sqrt(11/3)$
Spero che queste conclusioni siano esatte, poichè ho attribuito a $v$ e $u$ i valori della $y$ e della $z$ del punto $P$.
Per quanto riguarda il flusso, sfruttando il calcolo della divergenza ottengo
$\int int int_D ( 2x(6z+1) -x^3 -12xy ) dxdydz$
e volevo chiedervi se posso integrarlo per $x in [0, 1]$ su $\Sigma_1$
e per $x in (1, 2]$ su $\Sigma_2$ per poi sommare i risultati. O ci sono altre vie?
Spero di esser stato abbastanza chiaro
Ringrazio in anticipo.
Risposte
grazie per la risposta! Non mi è chiara una parte: la prima parametrizzazione dovrebbe coincidere con la porzione di paraboloide e non ho capito perchè $A_1$ abbia un intervallo da 1 a 2. Stessa cosa in $A_2$ non ho capito perchè viene scelto l'intervallo $[0, pi/3]$
Grazie per la spiegazione mi è tutto più chiaro.
mi è tutto più chiaro.
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