Calcolo del flusso mediante la definizione

[Aint]

salve a tutti, allora io ho un esercizio che mi chiede di calcolare il flusso sia col teorema della divergenza che con la definizione di flusso..


col teorema della divergenza non ho avuto nessun problema e l'ho risolto correttamente e il risultato coincide con quello del libro cioè

$(84/5)pi$

mentre quando l'ho risolto con la definizione, nella qquale ho parametrizzato il bordo come unione di 3 bordi mi viene un risultato ben lontano da quello che vi ho detto...


l'esercizio è:


Calcolare il flusso del campo vettoriale $F(x;y;z)=(x^3+y, -x^2+y^3, z^2-x^2)$ uscente dalla superficie $Sigma=d Omega$ dove:

$Omega={(x;y;z) in R^3: sqrt(x^2+y^2)<=z, 1<=z<=2}$


io ho parametrizzato il tutto immaginando un cilindro, però ho paura di essermi confuso, perché con i teorema della divergenza si faceva bene in coordinate cilindriche.... ma se non fosse un cilindro non avrei proprio idea di come parametrizzare il bordo!!!! qualcuno mi può aiutare????

non posto i calcoli che ho fatto solo perché sono molto lunghi e probabilmente come ho detto sopra sono concettualmente sbagliati....

[Sk_Anonymous]

Puoi correggere $\Omega$?

[Aint]

Pardon!!! mi era sfuggito!!! =)

[Sk_Anonymous]

Non un cilindro ma un cono.

[Aint]

uhm... allora devo guardare la forma parametrica del cono... e quindi dovrò parametrizzare 3 bordi???

uno dove $z=1$ uno dove $z=2$ e uno dove $z=t$ con $t in [1;2]$ ???

ho dei dubbi sul versore uscente... cambia ogni volta in ogni bordo?? (nell'esercizio guida dove c'era un cilindro cambiava l'ordine di calcolo del versore normale ogni volta e la cosa mi ha un po' confuso...)

[Sk_Anonymous]

Immagino che tu stia utilizzando questa parametrizzazione:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=\rho):}$

dove $1<=\rho<=2$ e $0<=\phi<2\pi$. La normale deve essere orientata verso l'esterno.

[Aint]

si sto usando quella parametrizzazione.... ma devo sempre trovare 3 bordi??? cioè un caso in cui $rho$=1 uno in cui $rho$=2 e uno generale in cui $rho=rho$????


ho provato a rifare il calcolo con solo quella parametrizzazione ma mi vengono degli integrali un po' lunhi e noioso.. e il risultato è sballato =(

alla fine con solo la parametrizzazione del cono mi viene così che è lontano dal risultato vero... quindi forse mancano dei bordi....

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+rho^4cos^4%28theta%29%2Brho^2sin%28theta%29cos%28theta%29-rho^3cos^2%28theta%29sin%28theta%29%2Brho^4sin^4%28theta%29%2Brho^2sin^2%28theta%29%2C+{rho%2C+1%2C+2}%2C+{theta%2C+0%2C+2pi}

[Sk_Anonymous]

Il calcolo del flusso attraverso le due basi è abbastanza semplice. Più complesso quello attraverso la superficie laterale, ma fattibile in un tempo più che ragionevole.

[Aint]

ma le 3 parametrizzazioni sono:

$x=cos(theta)$
$y=sin(theta)$
$z=1$

e


$x=2cos(theta)$
$y=2sin(theta)$
$z=2$

e la laterale

$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=rho$

[Sk_Anonymous]

Devi calcolare un flusso. Come puoi considerare le due superfici di base delle curve?

[Aint]

appunto non capisco come poterlo impostare....

[Sk_Anonymous]

Per esempio:

$x=\rhocos\theta$
$y=\rhosin\theta$
$z=1$

Devi stare sulla superficie del cerchio, non sulla circonferenza. Quindi due variabili per parametrizzare, come sempre.

[Aint]

ah! perché io pensavo, se $rho=z$ e $z=1$ allora pensavo che dovevo mettere "rho=1"

ma allora quello generale sul lato (con il calcolo linkato sopra su wolfram) va bene??? quello era con la parametrizzazione $x=rhocos(theta), y=rhosin(theta), z=rho$

se va bene provo gli altri 2 sommo tutto e vedo se torna il risultato!

[Sk_Anonymous]

Non ho controllato. Del resto, basta fare il prodotto scalare tra il campo e la normale non normalizzata diretta verso l'esterno.

[Aint]

eh anche li ho un dubbio però... come decido l'ordine del prodotto vettoriale???? a seconda se faccio $rrho^rtheta$ o $rtheta^rrho$ cambia... ok se avessi solo una superficie non mi importa perché vedendo un Meno davanit a tutto capirei di aver sbagliato.. ma qui dovendo sommare vari flussi come faccio a distinguere i + e i - giusti da quelli sbagliati???

cioè la mia domanda è.. per stabilire la norma uscente, come capisco qual è l'ordine del porodtto vettoriale???

[Sk_Anonymous]

Avrei scommesso un caffè che alla fine si sarebbe arrivati a discutere di questo. Vuoi sapere come faccio io? Faccio il prodotto vettoriale senza preoccuparmi dell'ordine. Quindi considero la superficie e cerco di capire se la normale ottenuta è diretta verso l'esterno. Nel tuo caso, è evidente che la normale esterna debba avere componente negativa lungo l'asse $z$. Quindi...

[Aint]

forse ho avuto un flash mentale che mi ha fatto immaginare il cono e mi ha fatto un po' piu di luce sulla normale esterna....

appena terminerò i calcoli ti dirò se viene o no.. (al momento sono un po' stanco e non ho molta voglia di rifarli per l'ennesima volta XD)

Comunque ti ringrazio INFINITAMENTE!!! mi hai fatto un sacco di chiarezza e rispondi sempre ai miei post! =)

[Aint]

NON mi vieneee =(

sulle 2 parametrizzazioni e calcoli del flusso alla sommità e base credo di esser abbastanza sicuro.. sul lato invece non lo sono per niente perché il numero è troppo brutto! =(


comunque ho fatto così..

BASE
$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=1$

curve derivate


$x=cos(theta)$
$y=sin(theta)$
$z=0$

e


$x=-rhosin(theta)$
$y=rhocos(theta)$
$z=0$

normale esterna alla base: $(0;0-rho)$

risultato= $(3/4)pi$

SOMMITA'


$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=2$

curve derivate


$x=cos(theta)$
$y=sin(theta)$
$z=0$

e


$x=-rhosin(theta)$
$y=rhocos(theta)$
$z=0$


Normale esterna alla sommità: $(0;0;rho)$

risultato= $(33/4)pi$

SUPERFICIE LATERALE

$x=rhocos(theta)$
$y=rhosin(theta)$
$z=rho$


curve derivate

$x=cos(theta)$
$y=sin(theta)$
$z=1$

e

$x=-rhosin(theta)$
$y=rhocos(theta)$
$z=0$

normale superficie laterale: $(rhocos(theta); rhosin(theta), -rho)$

risultato integrale lunghissimo: $(111/20)pi$


FLUSSO= se non ho sbagliato e sommo tutto viene $(291/20)pi$... che è sbagliato perché il risultato giusto è

$(84/5)pi$

ho provato con le varie combinazioni di + e -.. ma nessuno mi da il risultato giusto... combinando i segni mi vengono:


$(291/20)pi$
$(69/20)pi$
$(261/20)pi$
$(39/20)pi$

e altri 4 uguali ma col $-$ davanti...


sigh! =(


(P.S. gli integrali li ho ricontrollati con wolframalpha e i risultati, impostati così concordano...quindi non capisco dove sbaglio...)

[Sk_Anonymous]

Mica ti vorrai arrendere!

[Aint]

no.. però sinceramente non capisco dove sbaglio!!!! i 2 conti di base e sommità sono semplici.. il noioso/lungo è il lato...

però non voglio perdere ancora troppo tempo su questo esercizio! ho altre cosucce teoriche da vedere visto che l'esame è prossimo! =)