Calcolo del flusso di un rotore con il teorema di stokes

[@@@andre_civil93]

Devo calcolare il flusso del rotore di questo campo $ F(x,y,z)=(ze^x2, 3(x-1), z(x-1)) $ attraverso la superficie S definita come: $ {x=z^2 + y^2; z>=0; x<=1} $

il testo mi chiede di scegliere una normale tale da formare un angolo ottuso con l'asse x, come imposto questo esercizio? Grazie in anticipo per i consigli

[stefansson]

Ciao!
La superficie $S$ che ti viene data è una superficie cartesiana.
Detto $D={(x,y)inRR^2|-1<=y<=1,y^2<=x<=1}$ (sarebbe l' "ombra" di $S$ sul piano xy), puoi parametrizzare $S$ con la seguente funzione
$r:D rarr S$ definita da $r(x,y)=(x,y,sqrt(x-y^2))$
(infatti la superficie era descritta da $x=z^2+y^2 rarr z=sqrt(x-y^2)$)
a questo punto in ogni punto della superficie hai due versori normali, basta scegliere quello che, come dice il testo, forma un angolo ottuso con l'asse x. Più esplicitamente:
Chiamo $f(x,y)=sqrt(x-y^2)$, allora i due versori normali sono dati dalla formula
$\vec n=+-(-f_x,-f_y,1)/sqrt(1+f_x^2+f_y^2)$
dove
$f_x=(delf)/(delx)=1/(2sqrt(x-y^2))$
$f_y=(delf)/(dely)=-y/sqrt(x-y^2)$
quindi nel tuo caso il versore che forma un angolo ottuso con l'asse x è $\vec n_e=(-f_x,-f_y,1)/sqrt(1+f_x^2+f_y^2)$
(basta vedere quale dei due ha la prima componente negativa).
A questo punto il tuo flusso si calcola come
$\int int_S dsigma = int int_D ()/sqrt(1+f_x^2+f_y^2)sqrt(1+f_x^2+f_y^2) dxdy=$
$=int int_D dxdy$
Lascio a te il calcolo finale ma è abbastanza facile

http://it.wikipedia.org/wiki/Superficie_parametrica (se vuoi saperne di più sulle superfici parametriche)
Ciao!