Calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie

[donkeyking]

Ciao a tutti, ho problemi nell'eseguire il seguente esercizio:

Siano $ F(x,y,z)=(3xz, 3yz,(x^2+y^2)) $ e $ S={(x,y,z)in R^3: x^2+y^2+z^2=4, z>=0) $ (orientata in modo che il versore normale abbia prima componente positiva).
Calcolare il flusso di rot$F$ attraverso $S$.

Io ho parametrizzato così:
$ { ( x=costheta ),( y=sentheta ),( z=0 ):} $ con $theta in [0,2pi]$

dopodiché calcolo:

$ r'(theta)=(-sentheta,costheta,0) $
$ F(r(theta))=(0,0,cos^2theta+sen^2theta) $

e arrivato qua se faccio $ F(r(theta))r'(theta)=0 $ ma immagino non sia corretto...
In cosa sbaglio ?

[ciampax]

C'è una cosa che non mi torna nel testo: la superficie $S$ è la calotta superiore di una sfera centrata nell'origine e di raggio $2$. Il suo versore normale in generale segue la direzione del raggio che congiunge il centro con il punto sulla sfera dove si applica tale versore. Avrei capito se la richiesta fosse stata quella di "terza componente positiva" (che implica la normale uscente) ma questa prima componente positiva mi sembra un po' strana: infatti questo implicherebbe prendere un vettore "discontinuo", nel senso che passando dalla porzione della superficie per cui $x>0$ a quella per cui $x<0$, esso dovrebbe far cambiare segno alla prima componente, e non è una cosa proprio bella da vedere, Inoltre, nei punti in cui $x=0$, tale prima componente sarebbe nulla, per cui la richiesta non avrebbe senso. Non è che , per caso, $S$ è definita con $x\ge 0$? Oppure che la richiesta è quella di terza componente positiva?

[donkeyking]

Sì, devo aver mischiato il testo di due esercizi...$S$ è corretta, ma la richiesta è che la parte superiore sia positiva (non la prima componente come ho scritto).

[ciampax]

Bene, allora procediamo. Il teorema del Rotore di permette di affermare che
$$\int_S(\nabla\times F)\bullet dS=\int_{\partial S} F\bullet d\gamma$$
dove $\partial S$ è la curva bordo di $S$, in questo caso la circonferenza sul piano $z=0$ di equazione $x^2+y^2=4$. La parametrizzazione che hai scelto è corretta; inoltre la richiesta sulla normale del testo implica che $\theta\in[0,2\pi]$ per cui la curva è orinetata in senso antiorario (vista dall'alto).
Avendosi, su tale curva
$$F=(0,0,1),\qquad d\gamma=(-\sin\theta,\cos\theta,0)\ d\theta$$
segue che
$$F\bullet d\gamma=0\ d\theta$$
e quindi il flusso è nullo.

[donkeyking]

Il testo però mi da 4 possibili risultati, e nessuno di questi è nullo...se il testo chiedesse "Calcolare il flusso del campo vettoriale e non del rotore attraverso la superficie" ?

[ciampax]

Lì la questione è diversa: ovviamente non puoi applicare il teorema del rotore, ma potresti farlo in forma diretta parametrizzando la superficie. Una parametrizzazione possibile è
$$r(u,v)=(2\sin v\cos u,\ 2\sin v\sin u,\ 2\cos v),\qquad u\in[0,2\pi],\ v\in[0,\pi/2]$$
ed avresti
$$F(u,v)=(12\sin v\cos v\sin u,12\sin v\cos v\sin u,4\sin^2 v)$$
mentre il vettore normale risulta
$$N(u,v)=r(u,v)$$
e pertanto
$$\int_S F\bullet dS=\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} F(u,v)\bullet N(u,v)\ dv\ du=\\
\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/2} 4\cos v\sin^2 v\ dv=4\cdot 2\pi\cdot\left[\frac{\sin^3 v}{3}\right]_0^{\pi/2}=\frac{8\pi}{3}$$