Calcolo del flusso di un campo vettoriale
Ciao a tutti. Vorrei capire come impostare questo esercizio.
Sia $B_1$ il cerchio di centro $(0,0)$ e raggio 1 in $\R^2$. Sia $F: \R^2 \to \R^2$ il campo vettoriale definito da $F(x,y)=(xy^2(x^2+y^2)^4,y^3(x^2+y^2)^2)$. Calcolare $I=\frac{8}{pi} \int\int_{B_1}\text{div}Fdxdy$
Avevo pensato di utilizzare le formule di Gauss-Green ma l'integrale curvilineo di seconda specie che ne deriva non è per niente banale. Come dovrei procedere?
Sia $B_1$ il cerchio di centro $(0,0)$ e raggio 1 in $\R^2$. Sia $F: \R^2 \to \R^2$ il campo vettoriale definito da $F(x,y)=(xy^2(x^2+y^2)^4,y^3(x^2+y^2)^2)$. Calcolare $I=\frac{8}{pi} \int\int_{B_1}\text{div}Fdxdy$
Avevo pensato di utilizzare le formule di Gauss-Green ma l'integrale curvilineo di seconda specie che ne deriva non è per niente banale. Come dovrei procedere?
Risposte
Hai provato a calcolare esplicitamente $\text{div} F$ e passare in coordinate polari?
Ciao vincenzoi26051999,
Benvenuto sul forum!
L'integrale con la divergenza mi pare un po' pesante, per cui anche guardando la struttura del campo $ \mathbf{F} $ conviene ricordare che in 2D si ha:
$\int\int_{B_1} \text{div}F \text{d}x \text{d}y = \oint_{\del B_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds $
Scelta la parametrizzazione naturale
$\gamma(t) = (x(t),y(t)) = (cos t, sin t) \implies \gamma'(t) = (x'(t),y'(t)) = (- sin t, cos t)$, con $t \in [0, 2\pi)$ si ha:
$\oint_{\del B_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \int_0^{2\pi} {[x(t)y^2(t)(x^2(t)+y^2(t))^4]y'(t) - [y^3(t)(x^2(t) + y^2(t))^2]x'(t)} \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} [cos t sin^2 t cos t - sin^3 t (- sin t)] \text{d}t = \int_0^{2\pi} [cos^2 t sin^2 t + sin^4 t] \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} [(1 - sin^2 t) sin^2 t + sin^4 t] \text{d}t = \int_0^{2\pi} sin^2 t \text{d}t = \pi $
Per fare una prova ho rifatto i conti anche come suggerito da Mephlip ed il risultato finale in effetti è lo stesso, anche se l'integrale al quale si perviene è un po' più complicato, infatti alla fine mi risulta:
$ \int_0^1 \int_0^{2\pi} \rho^7 [5 (\rho^4 + 1) + (4 \rho^4 - 2) cos(2 \theta)] sin^2(\theta) \text{d}\rho \text{d}\theta = ... = \pi $
Benvenuto sul forum!
"vincenzoi26051999":
Come dovrei procedere?
L'integrale con la divergenza mi pare un po' pesante, per cui anche guardando la struttura del campo $ \mathbf{F} $ conviene ricordare che in 2D si ha:
$\int\int_{B_1} \text{div}F \text{d}x \text{d}y = \oint_{\del B_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds $
Scelta la parametrizzazione naturale
$\gamma(t) = (x(t),y(t)) = (cos t, sin t) \implies \gamma'(t) = (x'(t),y'(t)) = (- sin t, cos t)$, con $t \in [0, 2\pi)$ si ha:
$\oint_{\del B_1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \int_0^{2\pi} {[x(t)y^2(t)(x^2(t)+y^2(t))^4]y'(t) - [y^3(t)(x^2(t) + y^2(t))^2]x'(t)} \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} [cos t sin^2 t cos t - sin^3 t (- sin t)] \text{d}t = \int_0^{2\pi} [cos^2 t sin^2 t + sin^4 t] \text{d}t = $
$ = \int_0^{2\pi} [(1 - sin^2 t) sin^2 t + sin^4 t] \text{d}t = \int_0^{2\pi} sin^2 t \text{d}t = \pi $
Per fare una prova ho rifatto i conti anche come suggerito da Mephlip ed il risultato finale in effetti è lo stesso, anche se l'integrale al quale si perviene è un po' più complicato, infatti alla fine mi risulta:
$ \int_0^1 \int_0^{2\pi} \rho^7 [5 (\rho^4 + 1) + (4 \rho^4 - 2) cos(2 \theta)] sin^2(\theta) \text{d}\rho \text{d}\theta = ... = \pi $
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